2016考研數學：定積分與不定積分定理

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▶不定積分

1、原函數存在定理

●定理如果函數f(x)在區間I上連續，那么在區間I上存在可導函數F（x），使對任一x∈I都有F’（x）=f(x)；簡單的說連續函數一定有原函數。

●分部積分法

如果被積函數是冪函數和正余弦或冪函數和指數函數的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設冪函數和指數函數為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數的冪降低一次。如果被積函數是冪函數和對數函數或冪函數和反三角函數的乘積，就可設對數和反三角函數為u。

2、對于初等函數來說，在其定義區間上，它的原函數一定存在，但原函數不一定都是初等函數。

▶定積分

1、定積分解決的典型問題

（1）曲邊梯形的面積（2）變速直線運動的路程

2、函數可積的充分條件

●定理設f(x)在區間[a,b]上連續，則f(x)在區間[a,b]上可積，即連續=>可積。

●定理設f(x)在區間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區間[a,b]上可積。

3、定積分的若干重要性質

●性質如果在區間[a,b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0。

●推論如果在區間[a,b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性質設M及m分別是函數f(x)在區間[a,b]上的最大值和最小值，則m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a）,該性質說明由被積函數在積分區間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致范圍。

●性質（定積分中值定理）如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，則在積分區間[a,b]上至少存在一個點ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。

4、關于廣義積分

設函數f(x)在區間[a,b]上除點c（a<c<b）外連續，而在點c的鄰域內無界，如果兩個廣義積分∫acf(x)dx與∫cbf(x)dx都收斂，則定義∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx，否則（只要其中一個發散）就稱廣義積分∫abf(x)dx發散。

▶定積分的應用

1、求平面圖形的面積（曲線圍成的面積）

●直角坐標系下（含參數與不含參數）

●極坐標系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）(扇形面積公式S=R2θ/2)

●旋轉體體積（由連續曲線、直線及坐標軸所圍成的面積繞坐標軸旋轉而成）（且體積V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線的方程）

●平行截面面積為已知的立體體積（V=∫abA（x）dx,其中A（x）為截面面積）

●功、水壓力、引力

●函數的平均值（平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx）