2016考研數(shù)學大綱之中值定理專題解析

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新考研大綱如約而至。對考生而言，關注點應從對考綱的關注轉(zhuǎn)到如何更有效地復習上。考慮到這階段的同學已經(jīng)歷了基礎階段和暑期的復習，已具備一定基礎，也對真題中的題型有一定了解，但未必形成知識體系，重難點也未必完全把握。所以，借助此次與大家交流的機會，梳理了高等數(shù)學中的重難點，以期給正在全力攀登的你們搭一把手。

專題三中值定理

中值定理相關證明是考研數(shù)學中公認的重難點。以往這部分常考證明題這種大題。而近兩年沒考。去年的高數(shù)證明題考的函數(shù)不等式的證明，今年出乎意料地考了一個用導數(shù)定義證明求導公式的證明題。盡管近兩年未考，但作為以前常考大題的考點，哪位同學又敢對這部分內(nèi)容掉以輕心呢？好，這部分內(nèi)容的重要性無需贅述，那我們應該如何去把握呢？

首先應該把這部分的定理內(nèi)容弄清楚。習大大說：“打鐵還需自身硬!”我們要用這些定理去證明別的結(jié)論，先要自己把這些內(nèi)容弄透、弄熟。具體而言，這部分涉及的定理有：費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、零點存在定理、介值定理、最值定理和積分中值定理。前四個定理屬于微分中值定理，中間三個定理屬于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，最后一個為積分相關定理。值得一提的是，除了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)這幾個定理外，其余定理要求會證明。

接下來，應總結(jié)真題中考過的此類題目的處理思路。這項工作可以自己完成，但須花費一定時間。把近三十年的真題收集起來，總結(jié)出解題思路，在此分享給大家。

中值相關證明是從條件出發(fā)還是從結(jié)論出發(fā)呢?大部分情況下應從結(jié)論出發(fā)。看待證的式子是含一個中值還是兩個中值。若含一個中值，接下來再看，是否含導數(shù)。若含一個中值并且含導數(shù)，則優(yōu)先考慮羅爾定理，接下來的思路就是構造輔助函數(shù)以及找兩個點的函數(shù)值相等(注意這兩個點未必是區(qū)間的端點，也可能是區(qū)間內(nèi)部的點)。若含一個中值并且不含導數(shù)，那考慮閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，那塊有兩個常用的定理等著咱們——零點定理和介值定理。選哪個定理呢？小方法來啦！看待證的中值是位于閉區(qū)間還是開區(qū)間，若是閉區(qū)間，則選介值定理，因為介值定理結(jié)論就是中值位于閉區(qū)間；反之則選零點定理，因為零點定理結(jié)論就是中值位于開區(qū)間。

好，一個中值的思路說完了，下面考慮兩個中值的情況。請問，若待證式子含兩個中值，這是用了幾次定理的結(jié)果？兩次！為什么？因為用一次定理得到的式子只含有一個中值，即便復雜如柯西中值定理也不例外。所以，要出現(xiàn)兩個中值，一定是用兩次定理的結(jié)果。當然，用兩次定理，肯定得到兩個式子，最終的一個式子含兩個中值應為前面得到的兩個式子合并后的結(jié)果。那么，用哪個定理？根據(jù)對真題的分析，兩個中值的情況一般考慮拉格朗日或柯西定理。具體是用的哪個定理？對哪個函數(shù)用的？這可以通過觀察待證的式子得到。

總之，此類問題的思路有點像犯罪現(xiàn)場調(diào)查：出現(xiàn)這種結(jié)果，是如何造成的?誰是有嫌疑的函數(shù)，該函數(shù)是通過何種作案工具(定理)造成這種結(jié)果的。如果有這種體會，那么我們在做題的同時，也過了一把當福爾摩斯那樣的大偵探的癮。

當然，弄熟基本定理，也弄透了上述處理真題的思路，是否能輕松搞定全部真題呢？未必。真題中有各種變形，有了大致思路，還需把各個細節(jié)想清楚：如確定考慮羅爾定理了，那輔助函數(shù)如何構造，函數(shù)值相等的兩點如何找？如確定了用拉格朗日或柯西定理，那輔助函數(shù)如何構造，具體選哪個定理？這些細節(jié)需要結(jié)合真題一步步想通，多練習才能掌握。