2016考研數學大綱之中值定理專題解析

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新考研大綱如約而至。對考生而言，關注點應從對考綱的關注轉到如何更有效地復習上。考慮到這階段的同學已經歷了基礎階段和暑期的復習，已具備一定基礎，也對真題中的題型有一定了解，但未必形成知識體系，重難點也未必完全把握。所以，借助此次與大家交流的機會，梳理了高等數學中的重難點，以期給正在全力攀登的你們搭一把手。

專題三中值定理

中值定理相關證明是考研數學中公認的重難點。以往這部分常考證明題這種大題。而近兩年沒考。去年的高數證明題考的函數不等式的證明，今年出乎意料地考了一個用導數定義證明求導公式的證明題。盡管近兩年未考，但作為以前常考大題的考點，哪位同學又敢對這部分內容掉以輕心呢？好，這部分內容的重要性無需贅述，那我們應該如何去把握呢？

首先應該把這部分的定理內容弄清楚。習大大說：“打鐵還需自身硬!”我們要用這些定理去證明別的結論，先要自己把這些內容弄透、弄熟。具體而言，這部分涉及的定理有：費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、零點存在定理、介值定理、最值定理和積分中值定理。前四個定理屬于微分中值定理，中間三個定理屬于閉區間上連續函數的性質，最后一個為積分相關定理。值得一提的是，除了閉區間上連續函數的性質這幾個定理外，其余定理要求會證明。

接下來，應總結真題中考過的此類題目的處理思路。這項工作可以自己完成，但須花費一定時間。把近三十年的真題收集起來，總結出解題思路，在此分享給大家。

中值相關證明是從條件出發還是從結論出發呢?大部分情況下應從結論出發。看待證的式子是含一個中值還是兩個中值。若含一個中值，接下來再看，是否含導數。若含一個中值并且含導數，則優先考慮羅爾定理，接下來的思路就是構造輔助函數以及找兩個點的函數值相等(注意這兩個點未必是區間的端點，也可能是區間內部的點)。若含一個中值并且不含導數，那考慮閉區間上連續函數的性質，那塊有兩個常用的定理等著咱們——零點定理和介值定理。選哪個定理呢？小方法來啦！看待證的中值是位于閉區間還是開區間，若是閉區間，則選介值定理，因為介值定理結論就是中值位于閉區間；反之則選零點定理，因為零點定理結論就是中值位于開區間。

好，一個中值的思路說完了，下面考慮兩個中值的情況。請問，若待證式子含兩個中值，這是用了幾次定理的結果？兩次！為什么？因為用一次定理得到的式子只含有一個中值，即便復雜如柯西中值定理也不例外。所以，要出現兩個中值，一定是用兩次定理的結果。當然，用兩次定理，肯定得到兩個式子，最終的一個式子含兩個中值應為前面得到的兩個式子合并后的結果。那么，用哪個定理？根據對真題的分析，兩個中值的情況一般考慮拉格朗日或柯西定理。具體是用的哪個定理？對哪個函數用的？這可以通過觀察待證的式子得到。

總之，此類問題的思路有點像犯罪現場調查：出現這種結果，是如何造成的?誰是有嫌疑的函數，該函數是通過何種作案工具(定理)造成這種結果的。如果有這種體會，那么我們在做題的同時，也過了一把當福爾摩斯那樣的大偵探的癮。

當然，弄熟基本定理，也弄透了上述處理真題的思路，是否能輕松搞定全部真題呢？未必。真題中有各種變形，有了大致思路，還需把各個細節想清楚：如確定考慮羅爾定理了，那輔助函數如何構造，函數值相等的兩點如何找？如確定了用拉格朗日或柯西定理，那輔助函數如何構造，具體選哪個定理？這些細節需要結合真題一步步想通，多練習才能掌握。