2016年考研數(shù)學(xué)大綱解析：極限

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新考研大綱如約而至。對考生而言，關(guān)注點(diǎn)應(yīng)從對考綱的關(guān)注轉(zhuǎn)到如何更有效地復(fù)習(xí)上。筆者作為奮戰(zhàn)在教學(xué)一線的數(shù)學(xué)老師，考慮到這階段的同學(xué)已經(jīng)歷了基礎(chǔ)階段和暑期的復(fù)習(xí)，已具備一定基礎(chǔ)，也對真題中的題型有一定了解，但未必形成知識(shí)體系，重難點(diǎn)也未必完全把握。所以，借助此次與廣大考生交流的機(jī)會(huì)，在此梳理了高等數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn)，以期給正在全力攀登的考生搭一把手。

專題一極限

考試對極限的考察以計(jì)算為主。下面我們梳理一下極限計(jì)算的方法。

1.四則運(yùn)算

此法可簡要概括為"若極限式中每一部分(和差式中的每一項(xiàng)或乘除式的每個(gè)因子)的極限存在，則和的極限等于極限的和，差的極限等于極限的差，乘積的極限等于極限的乘積，商的極限等于極限的商(分母不為零)"。

而在實(shí)際做題過程中，我們往往不容易觀察出每一部分的極限都存在，而是只觀察出一部分的極限存在，這時(shí)能否利用四則運(yùn)算法則往下寫呢?我們需分成加和乘(減看成特殊的加，除看成特殊的乘)兩種運(yùn)算討論：兩個(gè)函數(shù)相加，取極限，若能觀察出一項(xiàng)的極限存在，若另一項(xiàng)的極限存在，則由四則運(yùn)算法則，和的極限等于極限的和，可以往下算;若另一項(xiàng)的極限不存在，可以證明(用反證法)整個(gè)極限不存在，也即"收斂+發(fā)散=發(fā)散"，而這種情況在真題中的極限計(jì)算題中還未出現(xiàn)過。綜上，兩個(gè)函數(shù)相加取極限，只要一項(xiàng)極限存在，就可以放心大膽地、一馬平川地往下算。萬一另一項(xiàng)的極限不存在呢?那回答整個(gè)極限不存在即可。下面討論乘的情況，兩個(gè)函數(shù)相乘取極限，若一個(gè)函數(shù)的極限存在，那得追問一句：極限值是否為0?若為0，則不能把該函數(shù)的極限算出(因?yàn)榭赡艹霈F(xiàn)"0乘無窮"這種未定式);若極限值不為0，則后面的討論類似于加的情況。

2.洛必達(dá)法則

洛必達(dá)法則知名度很高。提起極限計(jì)算的方法，有同學(xué)別的方法想不起來，唯獨(dú)對洛必達(dá)念念不忘，可謂情有獨(dú)鐘。到了這個(gè)階段，對于此法，首先要注意條件。洛必達(dá)法則有三個(gè)條件：1)0分之0或無窮分之無窮型;2)分子、分母在一個(gè)范圍(若極限過程為x趨近于一點(diǎn)，則"局部"為該點(diǎn)的某去心鄰域)可導(dǎo);3)分子、分母分別求導(dǎo)后的極限存在。具體函數(shù)僅判斷第1)條一般不會(huì)出問題，因?yàn)榈?)、3)條在多數(shù)情況下成立。但對抽象函數(shù)的極限問題要小心，可不可導(dǎo)，連不連續(xù)對洛必達(dá)法則的運(yùn)用都有影響。此外，泰勒公式以強(qiáng)大著稱，但有一種情況不得不請出不那么強(qiáng)大的洛必達(dá)法則幫忙，誰這么大牌?原來是含有變限積分的極限。一般得借助洛必達(dá)法則削去積分號(hào)。

3.等價(jià)無窮小替換

這種方法考生都比較熟悉。首先要記住常見的等價(jià)無窮小替換公式。接下來就是廣義化的思想方法(如x趨于0時(shí)，sinx等價(jià)于x，那么x的位置換成趨近于0的函數(shù)行不行?行!這就是廣義化的思想)。再者，等價(jià)無窮小替換常在洛必達(dá)法則之前用，這樣可以簡化洛必達(dá)法則中的求導(dǎo)運(yùn)算。注意，易錯(cuò)點(diǎn)是只有整個(gè)極限式的乘除因子才能替換。

4.泰勒公式

泰勒公式可以說是計(jì)算極限的最強(qiáng)大的武器。有同學(xué)戲稱"一把泰勒走天下，洛必達(dá)之類都是浮云"。確有幾分道理。該公式有兩種形式：帶皮亞諾余項(xiàng)的公式和帶拉格朗日余項(xiàng)的公式。前者用來算極限，后者用來證明。算極限首先應(yīng)記清8個(gè)常用的泰勒公式(exp(x),sinx,cosx,arcsinx,tanx,arctanx,ln(1+x),(1+x)^a在0點(diǎn)展開的泰勒公式)，接下來就是帶入、化簡計(jì)算的功夫了。泰勒公式展示其威力的場合還有抽象函數(shù)。有一個(gè)信號(hào)會(huì)提示我們考慮泰勒公式，即題目中出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)(二階及以上階數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù))。

5.冪指型函數(shù)的處理

冪指型函數(shù)是指底數(shù)位置和指數(shù)位置都有自變量的函數(shù)。此類函數(shù)在考試中可能讓我們求極限或求導(dǎo)數(shù)。處理該類函數(shù)問題有萬能的一招：指數(shù)對數(shù)恒等式轉(zhuǎn)化。

6.夾逼定理

首先要熟悉該定理的內(nèi)容。有數(shù)列和函數(shù)兩種形式。若一個(gè)數(shù)列夾在兩外兩個(gè)數(shù)列之間(并不要求對所有的n成立，對充分大的n成立即可)，且在n趨于無窮時(shí)，兩頭的數(shù)列收斂到同一個(gè)數(shù)，則中間的數(shù)列被逼迫著極限也存在且極限值為同一個(gè)數(shù)。函數(shù)形式的夾逼定理類似理解。

接著應(yīng)熟悉一個(gè)結(jié)論：無窮小乘以有界量=無窮小。該結(jié)論是夾逼定理的推論。可用其解題。

最后，一種長得非常有型的極限計(jì)算題--n項(xiàng)分母互不相同的分式的和的極限，可考慮夾逼定理，也可能考慮定積分定義。限于篇幅，本文在此點(diǎn)到為止，不詳述。

7.單調(diào)有界定理

該定理內(nèi)容并不難：單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限;單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限。此處需注意，不是嚴(yán)格的單調(diào)也可以。

該定理數(shù)一數(shù)二同學(xué)尤其要注意，因?yàn)檎骖}在此處考過多次大題。該定理的一種比較典型的應(yīng)用場合是遞推式數(shù)列的極限問題。一般情況下，證明數(shù)列的極限存在就可考慮該定理。