2016考研數學：線性代數不得不知的“四大”考點

考研數學來源：文都教育 2015-08-21　

在考研數學考試中，線性代數占總分值的22%，約34分，以2個選擇題、1個填空題、2個解答題的形式出現。雖然線性代數的考點眾多，但要把這5個題目的分值完全收入囊中，則需要進行重點題型重點突破。其中，有關矩陣的秩、特征值與特征向量、線性方程組求解和二次型標準化與正定判斷這四大考點，是考研數學中一定要復習好的內容。

矩陣的秩

矩陣是解決線性方程組的解的有力工具，矩陣也是化簡二次型的方便工具。矩陣理論是線性代數的重點內容，熟悉掌握了矩陣的相關性質與內容，利用其來解決實際應用問題就變得簡單易行。正因為矩陣理論在整個線性代數中的重要作用，使它變為考試考查的重點。矩陣由那么多元素組成，每一個元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩!

通過幾十年考研考試命題，命題老師對題目的形式在不斷地完善，這也要求考生深入理解概念，靈活處理理論之間的關系，能變通地解答題目。例如對矩陣秩的理解，對矩陣的秩與向量組的秩之間的關系的理解，對矩陣等價與向量組等價之間區別的理解，對矩陣的秩與方程組的解之間關系的掌握，對含參數的矩陣的處理以及反問題的解決能力等，都需要在對概念理解的基礎上，聯系地看問題，及時總結結論。

矩陣的特征值與特征向量

矩陣的特征值與特征向量在將矩陣對角化過程中起著決定作用，也是將二次型標準化、規范化的便捷方式，故特征值與特征向量也是考查重點。對于特征值與特征向量，須理清其相互關系，也須能根據一些矩陣的特殊性求得其特征值與特征向量(例如根據矩陣各行元素之和為3能夠判斷3是其一個特征值，元素均為1的列向量是其對應的特征向量)，會處理含參數的情況。

線性方程組求解

對線性方程組的求解總是通過矩陣來處理，含參數的方程組是考查的重點，對方程組解的結構及有解的條件須熟悉。例如2010年第20題(數學二為22題)，已經三元非齊次線性方程組存在2個不同的解，求其中的參數并求方程組的通解。此題的關鍵是確定參數!而所有信息完全隱含在“AX=b存在2個不同的解”這句話中。由此可以得到齊次方程組有非0解，系數矩陣降秩，行列式為0，可求得矩陣中的參數;非齊次方程組有解故系數矩陣與增廣矩陣同秩可確定唯一參數及b中的參數。至于確定參數后再求解非齊次方程組就變得非常簡單了!

二次型標準化與正定判斷

二次型的標準化與矩陣對角化緊密相連，即與矩陣的特征值與特征向量緊密聯系。這里需要掌握一些處理含參數矩陣的方法以便運算中節省時間!正定二次型有很優秀的性質，但畢竟這是一類特殊矩陣，判斷一個矩陣是否屬于這個特殊類，可以使用正定矩陣的幾個充要條件，例如二次型矩陣的特征值是否全大于0，順序主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。

以上四個考點可以說是考試的重點考查對象，考生可以根據自己的實際情況圍繞重點題型針對復習。只要攻克這些重難點，相信考研數學就會變得so easy!