2016考研高等數學極限的計算方法梳理（一）

考研數學來源：中國考研網 2015-05-15　

相信大家對高數的復習已經結束，開啟概率和線代的復習，不知道對自己高數的復習是否滿意，是否達到了我們的“三基本”呢？接下來，就和大家梳理一下我們做過的極限。

說到極限應該是我們三大計算中的第一大計算，每年考研真題必出，無論是數一數二數三還是經濟類數學，可以出選擇題也可以出填空題，更可以出解答題，題目類型不同，分值也不同，4分或者10分，極限的思想也就更是重要之重了，原因就是后來所有的概念都是以極限的形式給出的。下面，我們就看看極限在基礎階段到底應該掌握到什么程度。

第一，極限的定義。理解數列極限和函數極限的定義，最好記住其定義。

第二，極限的性質。唯一性，有界性，保號性和保不等式性要理解，重點理解保號性和保不等式性，在考研真題里面經常考查，而性質的本身并不難理解，關鍵是在做題目的時候怎么能想到，所以同學們在做題目的時候可以看看什么情況下利用了極限的保號性，例如：題目中有一點的導數大于零或者小于零，或者給定義數值，可以根據這個數值大于零或小于零，像這樣的情況，就可以寫出這一點的導數定義，利用極限的保號性，得出相應的結論，切記要根據題目要求來判斷是否需要，但首先要有這樣的思路，希望同學們在做題時多去總結。

第三，極限的計算。這一部分是重中之重，這也是三大計算中的第一大計算，每年必考的題目，所以需要同學們能夠熟練地掌握并會計算不同類型的極限計算。首先要知道基本的極限的計算方法，比如：四則運算、等價無窮小替換、洛必達法則、重要極限、單側極限、夾逼定理、單調有界收斂定理，除此之外還要泰勒展開，利用定積分定義求極限。其次還要掌握每一種極限計算的注意事項及拓展，比如：四則運算中掌握“抓大頭”思想(兩個多項式商的極限，是無窮比無窮形式的，分別抓分子和分母的最高次計算結果即可)，等價無窮小替換中要掌握等價無窮小替換只能在乘除法中直接應用，加減法中不能直接應用，如需應用必須加附加條件，計算中要掌握基本的等價無窮小替換公式和其推廣及湊形式，進一步說就是第一要熟練掌握基本公式，第二要知道怎么推廣，也就是將等價無窮小替換公式中的x用f(x)來替換，并且要驗證在x趨于某一變化過程中f(x)會否趨近于零，滿足則可以利用推廣后的等價無窮替換公式，否則不能。

下面給出推廣后公式：f(x)→0,f(x)～sinf(x)～arcsinf(x)～tanf(x)～arctanf(x)～expf(x)-1～ln(f(x)+1),1-cosf(x)～0.5(f(x))2,(1+f(x))a～af(x)。

第三要能將變形的無窮小替換公式轉化為標準形式，比如：公式中固定出現的“1”和f(x)為無窮小量。希望同學們在做題目的時候多加注意，熟能生巧。