2015年考研數(shù)學(xué)（三）考試大綱

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2015年數(shù)學(xué)三考試大綱
考試科目：微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計

考試形式和試卷結(jié)構(gòu)
一、試卷滿分及考試時間
試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘．
二、答題方式
答題方式為閉卷、筆試．
三、試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)
微積分                         　約56%
線性代數(shù)　                       約22%
概率論與數(shù)理統(tǒng)計                 約22%
四、試卷題型結(jié)構(gòu)
單項選擇題選題                   8小題，每小題4分，共32分
填空題                           6小題，每小題4分，共24分
解答題（包括證明題）             9小題，共94分

微積分
一、函數(shù)、極限、連續(xù)
考試內(nèi)容
函數(shù)的概念及表示法  函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性  復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)  基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形  初等函數(shù)  函數(shù)關(guān)系的建立
數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)  函數(shù)的左極限和右極限  無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系  無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較  極限的四則運算  極限存在的兩個準(zhǔn)則：單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則  兩個重要極限：
函數(shù)連續(xù)的概念  函數(shù)間斷點的類型  初等函數(shù)的連續(xù)性  閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
考試要求
1．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系．
2．了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性．
3．理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念．
4．掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念．
5．了解數(shù)列極限和函數(shù)極限（包括左極限與右極限）的概念．
6．了解極限的性質(zhì)與極限存在的兩個準(zhǔn)則，掌握極限的四則運算法則，掌握利用兩個重要極限求極限的方法．
7．理解無窮小量的概念和基本性質(zhì)，掌握無窮小量的比較方法．了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系．
8．理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型．
9．了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應(yīng)用這些性質(zhì)．
二、一元函數(shù)微分學(xué)
考試內(nèi)容
導(dǎo)數(shù)和微分的概念  導(dǎo)數(shù)的幾何意義和經(jīng)濟意義  函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系　 平面曲線的切線與法線  導(dǎo)數(shù)和微分的四則運算 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)  復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和隱函數(shù)的微分法  高階導(dǎo)數(shù) 　一階微分形式的不變性  微分中值定理  洛必達（L'Hospital）法則  函數(shù)單調(diào)性的判別  函數(shù)的極值  函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線   函數(shù)圖形的描繪  函數(shù)的最大值與最小值
考試要求
1．理解導(dǎo)數(shù)的概念及可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與經(jīng)濟意義（含邊際與彈性的概念），會求平面曲線的切線方程和法線方程．
2．掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求反函數(shù)與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
3．了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)．
4．了解微分的概念、導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系以及一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分．
5．理解羅爾（Rolle）定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理，了解泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy)中值定理，掌握這四個定理的簡單應(yīng)用．
6．會用洛必達法則求極限．
7．掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法，了解函數(shù)極值的概念，掌握函數(shù)極值、最大值和最小值的求法及其應(yīng)用．
8．會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性（注：在區(qū)間 內(nèi)，設(shè)函數(shù) 具有二階導(dǎo)數(shù)．當(dāng) 時， 的圖形是凹的；當(dāng) 時， 的圖形是凸的），會求函數(shù)圖形的拐點和漸近線．
9．會描述簡單函數(shù)的圖形．
三、一元函數(shù)積分學(xué)
考試內(nèi)容
原函數(shù)和不定積分的概念  不定積分的基本性質(zhì)  基本積分公式  定積分的概念和基本性質(zhì)  定積分中值定理  積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)  牛頓-萊布尼茨（Newton- Leibniz）公式  不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法  反常（廣義）積分  定積分的應(yīng)用
考試要求
1．理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質(zhì)和基本積分公式，掌握不定積分的換元積分法與分部積分法．
2．了解定積分的概念和基本性質(zhì)，了解定積分中值定理，理解積分上限的函數(shù)并會求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式以及定積分的換元積分法和分部積分法．
3．會利用定積分計算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積和函數(shù)的平均值，會利用定積分求解簡單的經(jīng)濟應(yīng)用問題．
4．了解反常積分的概念，會計算反常積分．
四、多元函數(shù)微積分學(xué)
考試內(nèi)容
多元函數(shù)的概念  二元函數(shù)的幾何意義  二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念  有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)  多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念與計算  多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法與隱函數(shù)求導(dǎo)法  二階偏導(dǎo)數(shù)  全微分  多元函數(shù)的極值和條件極值、最大值和最小值  二重積分的概念、基本性質(zhì)和計算  無界區(qū)域上簡單的反常二重積分
考試要求
1．了解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何意義．
2．了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．
3．了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，會求多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，會求全微分，會求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．
4．了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決簡單的應(yīng)用問題．
5．了解二重積分的概念與基本性質(zhì)，掌握二重積分的計算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），了解無界區(qū)域上較簡單的反常二重積分并會計算．
五、無窮級數(shù)
考試內(nèi)容
常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念　收斂級數(shù)的和的概念　級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件　幾何級數(shù)與 級數(shù)及其收斂性　正項級數(shù)收斂性的判別法　任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂　交錯級數(shù)與萊布尼茨定理　冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域　冪級數(shù)的和函數(shù)　冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)　簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法　初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式
考試要求
1．了解級數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和的概念．
2．了解級數(shù)的基本性質(zhì)及級數(shù)收斂的必要條件，掌握幾何級數(shù)及 級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件，掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法．
3．了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系，了解交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法．
4．會求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域．
5．了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導(dǎo)和逐項積分），會求簡單冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)．
6．了解麥克勞林（Maclaurin）展開式．
六、常微分方程與差分方程
考試內(nèi)容
常微分方程的基本概念　變量可分離的微分方程　齊次微分方程　一階線性微分方程　線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理  二階常系數(shù)齊次線性微分方程及簡單的非齊次線性微分方程　差分與差分方程的概念　差分方程的通解與特解　一階常系數(shù)線性差分方程　微分方程的簡單應(yīng)用
考試要求
1．了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念．
2．掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法．
3．會解二階常系數(shù)齊次線性微分方程．
4．了解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．
5．了解差分與差分方程及其通解與特解等概念．
6．了解一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法．
7．會用微分方程求解簡單的經(jīng)濟應(yīng)用問題．

線性代數(shù)
一、行列式
考試內(nèi)容
行列式的概念和基本性質(zhì)　行列式按行（列）展開定理
考試要求
1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)．
2.會應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開定理計算行列式．
二、矩陣
考試內(nèi)容
矩陣的概念　矩陣的線性運算　矩陣的乘法　方陣的冪　方陣乘積的行列式　矩陣的轉(zhuǎn)置　逆矩陣的概念和性質(zhì)　矩陣可逆的充分必要條件　伴隨矩陣　矩陣的初等變換　初等矩陣　矩陣的秩　矩陣的等價  分塊矩陣及其運算
考試要求
1．理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣的定義及性質(zhì)，了解對稱矩陣、反對稱矩陣及正交矩陣等的定義和性質(zhì)．
2．掌握矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì)．
3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣.
4.了解矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法．
5.了解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運算法則．
三、向量
考試內(nèi)容
向量的概念　向量的線性組合與線性表示　向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)　向量組的極大線性無關(guān)組  等價向量組　向量組的秩　向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系  向量的內(nèi)積  線性無關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法
考試要求
1．了解向量的概念，掌握向量的加法和數(shù)乘運算法則．
2．理解向量的線性組合與線性表示、向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)等概念，掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法．
3．理解向量組的極大線性無關(guān)組的概念，會求向量組的極大線性無關(guān)組及秩．
4．理解向量組等價的概念，理解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩之間的關(guān)系．
5．了解內(nèi)積的概念．掌握線性無關(guān)向量組正交規(guī)范化的施密特（Schmidt）方法．
四、線性方程組
考試內(nèi)容
線性方程組的克拉默（Cramer）法則　線性方程組有解和無解的判定　齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解  非齊次線性方程組的解與相應(yīng)的齊次線性方程組（導(dǎo)出組）的解之間的關(guān)系　非齊次線性方程組的通解
考試要求
1.會用克拉默法則解線性方程組．
2.掌握非齊次線性方程組有解和無解的判定方法．
3.理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法．
4.理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念．
5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法．
五、矩陣的特征值和特征向量
考試內(nèi)容
矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)　相似矩陣的概念及性質(zhì)　矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣　實對稱矩陣的特征值和特征向量及相似對角矩陣
考試要求
1.理解矩陣的特征值、特征向量的概念，掌握矩陣特征值的性質(zhì)，掌握求矩陣特征值和特征向量的方法．
2.理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質(zhì)，了解矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法．
3.掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)．
六、二次型
考試內(nèi)容
二次型及其矩陣表示  合同變換與合同矩陣　二次型的秩　慣性定理　二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形　用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形　二次型及其矩陣的正定性
考試要求
1.了解二次型的概念，會用矩陣形式表示二次型，了解合同變換與合同矩陣的概念．
2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形等概念，了解慣性定理，會用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形．
3.理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法．

概率論與數(shù)理統(tǒng)計
一、隨機事件和概率
考試內(nèi)容
隨機事件與樣本空間　事件的關(guān)系與運算　完備事件組　概率的概念　概率的基本性質(zhì)　古典型概率　幾何型概率　條件概率　概率的基本公式　事件的獨立性　獨立重復(fù)試驗
考試要求
1．了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機事件的概念，掌握事件的關(guān)系及運算．
2．理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)，會計算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯（Bayes）公式等．
3．理解事件的獨立性的概念，掌握用事件獨立性進行概率計算；理解獨立重復(fù)試驗的概念，掌握計算有關(guān)事件概率的方法．
二、隨機變量及其分布
考試內(nèi)容
隨機變量　隨機變量分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)　離散型隨機變量的概率分布　連續(xù)型隨機變量的概率密度  常見隨機變量的分布  隨機變量函數(shù)的分布
考試要求
1．理解隨機變量的概念，理解分布函數(shù)
（ ）
的概念及性質(zhì)，會計算與隨機變量相聯(lián)系的事件的概率．
2．理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二項分布 、幾何分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布 及其應(yīng)用．
3．掌握泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會用泊松分布近似表示二項分布．
4．理解連續(xù)型隨機變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布 、正態(tài)分布 、指數(shù)分布及其應(yīng)用，其中參數(shù)為 的指數(shù)分布 的概率密度為
5．會求隨機變量函數(shù)的分布．
三、多維隨機變量的分布
考試內(nèi)容
多維隨機變量及其分布函數(shù)　二維離散型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布　二維連續(xù)型隨機變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度　隨機變量的獨立性和不相關(guān)性　常見二維隨機變量的分布　兩個及兩個以上隨機變量簡單函數(shù)的分布
考試要求
1．理解多維隨機變量的分布函數(shù)的概念和基本性質(zhì)．
2．理解二維離散型隨機變量的概率分布和二維連續(xù)型隨機變量的概率密度，掌握二維隨機變量的邊緣分布和條件分布．
3．理解隨機變量的獨立性和不相關(guān)性的概念，掌握隨機變量相互獨立的條件，理解隨機變量的不相關(guān)性與獨立性的關(guān)系．
4．掌握二維均勻分布和二維正態(tài)分布 ，理解其中參數(shù)的概率意義．
5．會根據(jù)兩個隨機變量的聯(lián)合分布求其函數(shù)的分布，會根據(jù)多個相互獨立隨機變量的聯(lián)合分布求其簡單函數(shù)的分布．
四、隨機變量的數(shù)字特征
考試內(nèi)容
隨機變量的數(shù)學(xué)期望（均值）、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及其性質(zhì)  隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望  切比雪夫（Chebyshev）不等式  矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)
考試要求
1．理解隨機變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的概念，會運用數(shù)字特征的基本性質(zhì)，并掌握常用分布的數(shù)字特征．
2．會求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望．
3．了解切比雪夫不等式．
五、大數(shù)定律和中心極限定理
考試內(nèi)容
切比雪夫大數(shù)定律　伯努利（Bernoulli）大數(shù)定律  辛欽（Khinchine）大數(shù)定律  棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理  列維-林德伯格（Levy－Lindberg）定理
考試要求
1．了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律（獨立同分布隨機變量序列的大數(shù)定律）．
2．了解棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理（二項分布以正態(tài)分布為極限分布）、列維-林德伯格中心極限定理（獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理），并會用相關(guān)定理近似計算有關(guān)隨機事件的概率．
六、數(shù)理統(tǒng)計的基本概念
考試內(nèi)容
總體　個體　簡單隨機樣本　統(tǒng)計量　經(jīng)驗分布函數(shù)  樣本均值　樣本方差和樣本矩　 分布　 分布  分布 分位數(shù)　正態(tài)總體的常用抽樣分布
考試要求
1．了解總體、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念，其中樣本方差定義為
2．了解產(chǎn)生 變量、 變量和 變量的典型模式；了解標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、 分布、 分布和 分布的上側(cè) 分位數(shù)，會查相應(yīng)的數(shù)值表．
3．掌握正態(tài)總體的樣本均值、樣本方差、樣本矩的抽樣分布．
4.了解經(jīng)驗分布函數(shù)的概念和性質(zhì)．
七、參數(shù)估計
考試內(nèi)容
點估計的概念　估計量和估計值　矩估計法　最大似然估計法
考試要求
1．了解參數(shù)的點估計、估計量與估計值的概念．
2．掌握矩估計法（一階矩、二階矩）和最大似然估計法．