2015考研數學暑期復習：高等數學之多元函數微分學

考研數學來源：跨考教育 2014-07-24　

暑期，是考研黃金復習期。同學們要多利用這段時間夯實基礎，千萬不要眼高手低，無論是哪本數學復習書，大家一定要去做，去看。不要一份試題放到你面前，你根本就不知道無從下手。高數中，多元部分較為重要。高等數學中有多元函數微分學，多元函數積分學。從本質上講多元是一元的升華，相應的理論和方法也可以從一元那里類比過來。但是多元部分也有自己的特點，它與一元部分也有所區別。

1.深刻理解概念

前面我說了多元與一元有聯系，但也有區別。所以在這里，我說的深刻理解概念就是要說清楚多元函數微分學與一元函數微分學的區別以及大家需要注意的地方。那么，在多元函數微分學的知識體系中，最重要的就是對基本概念的理解。也就是要理解多元函數的極限，連續，可導與可微。首先，大家對極限的理解很關鍵。它與一元部分是有區別的。以二元函數為例，大家要清楚逼近方式的任意性，而一元函數中就兩個方向。所以一般考研考二元函數極限就是問大家這個極限是否存在，那么大家就選取兩個方向來說明就夠了。至于連續，把極限搞清楚了，連續就不是問題了。然后，可導的概念。還是以二元函數為例。二元函數有兩個變量，那么可導就是說的偏導數。基本思想是：求一個變量的導數那么就固定另外一個變量。所以實質上還是求一元函數的導數。至于可微的思想可以直接平移一元的。雖然有些變化，但是基本的形式是一樣的。最后，三者關系。這是相當重要的一個點。具體來說，可微可以推出可導和連續，而反之不成立。希望大家不僅要記住結論，還要知道為什么是這樣的關系。大家通過自己推一推就可以準確的把握這三個概念了。在大家深刻理解了這些概念后，后面的內容就偏向計算了。

2.培養計算能力

在前面，我說了對基本概念理解的重要性。那么，說完概念，這章考查的重點還是計算。計算實質上就是多元函數微分學的應用。它主要包括偏導數的計算；方向導數與梯度；二元函數極值(無條件與條件)。其實考查計算對大家來說是最容易的考法。因為大家只要懂方法就夠了，不用理解方法怎么來的。具體來說，計算偏導數，特別是高階偏導數，大家只要掌握了鏈式法則就夠了。同時掌握下高階導數與求導次序無關的條件。至于計算方向導數與梯度，大家就需要知道它的含義，然后記住兩個公式就行了。最后是二元函數的極值。它分為無條件極值和有條件極值。先說無條件極值。大家可以把它跟一元函數極值做個類比。這樣會學的輕松些。至于條件極值，大家只要會了拉格朗日乘數法就行了。所以，這章對大家的計算能力要求很高。大家一定要沉下心仔細體會方法，然后多做練習就夠了。

3.適量習題

在大家理解了基本概念以及明確了計算方法后，接下來就需要做題鞏固了。在這里，我尤其反對題海戰術，因為大家的時間有限并且題海戰術在沒理解知識點之前是沒用的。現在社會做事情都講究高效，我希望大家能夠事半功倍。那么針對多元函數微分學這章，大家先針對我說的重點知識進行做題鞏固，關鍵是每做一個題就要理解，要反思，要多想想考察了知識點那些方面。然后對次重點知識輔助做一些題，了解就夠了。