2022數學一考研大綱：線性代數重點內容和典型題型

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2022年考研數學大綱已發布，和2021年的大綱差別不大，線性代數科目的考查重點和復習重點基本不變，但是2022年為考研偶數年，在難度上可能會較去年有所增加。為了幫助各位考生能有效的復習線性代數，下面將對考研數學線性代數的重點內容和典型題型進行分析，希望能給在復習過程中迷茫的你或遇到瓶頸的你帶來一些幫助。

考研數學的命題靈活性非常大，就同一個知識點而已，考查難度有時就差別千里，而更多的命題是多個知識點的疊加，綜合性不言而喻。線性代數在考研數學中的地位不容小覷，而相對高數而言，整體內容不多，題型特點比較突出，主要是計算題為主，證明題為輔，算是比較好掌握的一門學科，因此各位考生想要在考研數學中取得較好的成績，學好線代勢在必行。

線性代數的學習主要分兩個部分：一是對工具的掌握，這部分主要為行列式、矩陣、秩、特征值與特征向量;二是對理論的運用，這部分主要為線性方程組，向量關系，相似對角化以及二次型。

線性代數——工具篇

行列式是整個線性代數的基本運算工具，在每一模塊都有應用，雖然在整張試卷中所占比例不是很大，單獨考查較少，但與之相關的考題每年都有。例如方陣的行列式、逆矩陣、向量組的線性相關性、矩陣的秩、線性方程組、特征值、正定二次型與正定矩陣等問題中都會涉及到行列式。考生需重點掌握行列式的計算方法，達到能熟練計算各式各類的行列式的要求。涉及到行列式的常考題型有數值型和抽象性兩類。其中數值型中有低階和高階行列式之分，主要考查方式是直接需要考生計算出結果，或是結合題目其他信息利用行列式計算參數，這類行列式的主要計算方法是降階法，一般先用行列式的性質進行恒等變形，再按行、按列用展開定理將行列式降階。此外，一些特殊的行列式(三角行列式、爪型行列式、對角線型行列式等等)的計算方法也應掌握。

矩陣是線性代數的重要運算單位，是建立整個學科體系的基礎，其概念、運算及理論貫穿線性代數的始終。這部分重要考試要點有逆矩陣及伴隨矩陣，在考試中大題小題均有覆蓋，典型題型有以下幾種：方冪的運算、求解矩陣方程、判斷及證明矩陣可逆，與伴隨矩陣相關聯的命題、有關初等變換的命題等。考生需要重點掌握逆矩陣的判定及計算方法及其在矩陣方程中的應用，伴隨矩陣的相關性質，特別是矩陣可逆性不同情況下對公式的運用，以及與秩相關的公式。

秩和特征值、特征向量都需要考生掌握最為基本的計算公式，一般會設置為大題的第一問，或者作為某個題目解題的突破口。考生需記熟與秩相關的公式，特征值及特征向量的計算方法及相關性質。

線性代數——理論篇

向量組的關系有線性表示及線性相關性，其中線性相關性是考研線性代數的重點考查內容。這部分內容較為抽象，綜合性強，其分值占比大，是大題的常用考試要點之一，考頻高。常見題型有：向量組的線性相關性的判定或證明、有關秩的證明、有關矩陣與向量組等價的命題、有關方程組的命題、與向量空間有關的命題。考生一定要把控好對線性相關性的理解，相關定理要熟記，特別是要吃透其與方程組之間的關系，熟練掌握有關性質及判定法并能靈活應用，還應與線性表出、向量組的秩及線性方程組等相聯系，從各個側面加強對線性相關性的理解。

整個線性代數研究的核心便是線性方程組，歷年考題中，頻率較高，幾乎每年都考，而且大題居多，是線性代數部分考查的重點內容。在這部分內容的學習中特別要注意齊次與非齊次線性方程組解的判定及解的結構、齊次線性方程組基礎解系的求解與證明、含參討論的方法等內容的掌握。典型的題型有：線性方程組的求解、方程組解向量的判別及解的性質、齊次線性方程組的基礎解系、非齊次線性方程組的通解結構、兩個方程組的公共解、同解問題、矩陣方程的求解等。

相似對角化與二次型在考研中有時會結合起來出大題，是線性代數的重要理論，這部分內容題量多分值大。其中相似對角化也比較喜歡在小題中出現，主要考查題型為：相似對角化的判定，間接計算矩陣的特征值等。而重點題型一般為判定矩陣的相似對角化、由特征值或特征向量反求A、有關實對稱矩陣的問題。由于二次型與它的實對稱矩陣式一一對應的，所以二次型的很多問題都可以轉化為實對稱矩陣的問題，而對實對稱矩陣的研究也是特征值與特征向量以及相似對角化等內容，在其學習上需以相似對角化作為基礎，這部分是線性代數的一個重難點，重點題型有：二次型表成矩陣形式、化二次型為標準形或規范型、二次型正定性的判別。

由2022年考研數學大綱可以看出，線性代數的考查內容不多，但從考試趨勢來看，線代科目對各位考生的要求更高，考試要點會更為綜合，正是這些綜合性的考題將會拉開了考生之間的成績差距，若想取得理想分數，各位考生就必須要熟練掌握和靈活運用基本的概念以及公式定理。基于此，中公考研數學研究院結合多年的考研輔導經驗以及獨有的研發體系，希望能幫助考生有計劃、有目的及有步驟的完成數學的復習，歡迎加入我們。在此，中公考研教研團隊祝各位考生在考試中取得優異的成績。