高數(shù)復(fù)習(xí)重點(diǎn)解析之——微分方程與無(wú)窮級(jí)數(shù)

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“世事洞明皆學(xué)問(wèn)”。想把一件事做好，就需要用心揣摩其規(guī)律、總結(jié)其方法。考研復(fù)習(xí)亦不例外：除了結(jié)合考綱把基礎(chǔ)打牢，還需適當(dāng)總結(jié)方法、關(guān)注重點(diǎn)。針對(duì)考生需求，數(shù)學(xué)教研室精心準(zhǔn)備了2014年暑期考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)解析。以下是高數(shù)微分方程與無(wú)窮級(jí)數(shù)部分，供參考。

一、微分方程

微分方程可視為一元函數(shù)微積分學(xué)的應(yīng)用與推廣。該部分在考試中以大題與小題的形式交替出現(xiàn)，平均每年所占分值在8分左右。常考的題型包括各種類(lèi)型微分方程的求解，線性微分方程解的性質(zhì)，綜合應(yīng)用。

對(duì)于該部分內(nèi)容的復(fù)習(xí)，考生首先要能識(shí)別各種方程類(lèi)型(一階：可分離變量的方程、齊次方程、一階線性方程、伯努利方程(數(shù)一、二)、全微分方程(數(shù)一);高階：線性方程、歐拉方程(數(shù)一)、高階可降階的方程(數(shù)一、二))，熟悉其求解步驟，并通過(guò)足量練習(xí)以求熟練掌握;在此基礎(chǔ)上還要具備數(shù)學(xué)建模的能力——能根據(jù)幾何或物理背景，建立微分方程。

另外，有幾點(diǎn)需提醒考生：

1. 解微分方程主要考查考生計(jì)算積分的能力，而實(shí)際應(yīng)用則對(duì)考生的綜合能力提出較高要求，考生需結(jié)合練習(xí)把“解方程”和“列方程”的能力練好。

2. 非基本類(lèi)型的方程一般都可通過(guò)變量替換化為基本類(lèi)型。

3. 考生需弄清常見(jiàn)的物理量、幾何量與微分、積分的關(guān)系。

二、無(wú)窮級(jí)數(shù)

級(jí)數(shù)可視為微積分的綜合應(yīng)用。該部分是數(shù)一、數(shù)三的必考內(nèi)容，分值約占10%。常考的題型有：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域，冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，冪級(jí)數(shù)求和，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和以及傅里葉級(jí)數(shù)。其中冪級(jí)數(shù)是重點(diǎn)。

結(jié)合考試分析，建議考生從以下方面把握該部分內(nèi)容：

1. 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

理解其收斂的相關(guān)概念并掌握各種收斂性判別法。

2. 冪級(jí)數(shù)

考試有三方面的要求：冪級(jí)數(shù)收斂域的計(jì)算，冪級(jí)數(shù)求和，冪級(jí)數(shù)展開(kāi)。考生應(yīng)通過(guò)一定量訓(xùn)練使自己具備這三方面的能力——給定冪級(jí)數(shù)，準(zhǔn)確計(jì)算其收斂半徑進(jìn)而得到收斂域，能求其和函數(shù)，能將一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)在指定點(diǎn)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。

3.傅里葉級(jí)數(shù)

考試出現(xiàn)頻率和考試要求均較低，掌握傅里葉系數(shù)的求法，再了解狄利克雷定理的內(nèi)容即可。

如何有效地復(fù)習(xí)考研數(shù)學(xué)?如果我們也視其為一道數(shù)學(xué)題，我想我們應(yīng)該明白：我們要做微分運(yùn)算——拿著放大鏡把每個(gè)考點(diǎn)弄清，也要做積分運(yùn)算——持續(xù)地投入，積跬步以至千里;我們要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度——一張數(shù)表里有一個(gè)數(shù)不同結(jié)果就變了，還要有靈活的思維——于點(diǎn)、線、面，數(shù)、表、空間，常量、變量、隨機(jī)變量間自由游弋;面對(duì)逝去的光陰不要悔恨——函數(shù)都可以不單調(diào)，人卻要讓過(guò)去決定未來(lái)嗎，面對(duì)不如意的現(xiàn)狀要接納——作為考生，我們無(wú)權(quán)更改微分方程的初始條件，我們能做的是接受它，把題漂亮地解出來(lái)。