2014年考研線代數(shù)習(xí)重點解析之核心考點

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考研復(fù)習(xí)的強化階段即將開始，如果考生想在考研數(shù)學(xué)中取得好成績，就一定要把握好暑假這個黃金時間段。通過暑假的這段時間復(fù)習(xí)，大家應(yīng)該做到把所學(xué)的知識系統(tǒng)化綜合化，尤其是考研數(shù)學(xué)中的線性代數(shù)。在考研數(shù)學(xué)中線性代數(shù)只占分值的22%，所占比例雖然不高，但是對每位考研學(xué)子來說同樣重要。線性代數(shù)部分的內(nèi)容相對容易，從歷年真題分析可知考試的時候出題的套路也比較固定。但是線性代數(shù)的知識點比較瑣碎，記憶量大而且容易混淆的地方較多；另外這門學(xué)科的知識點之間的聯(lián)系性也比較強，這種聯(lián)系不僅指各個章節(jié)之間的相互聯(lián)系，更重要的是不同章節(jié)中的各種性質(zhì)、定理、判定法則之間也有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。因此，在復(fù)習(xí)線性代數(shù)的時候，要求考生做到“融會貫通”，即不僅要找到不同知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，還要掌握不同知識點之間的順承關(guān)系。為了使廣大考生在暑期強化階段更好地復(fù)習(xí)線性代數(shù)這門學(xué)科，數(shù)學(xué)教研室李老師為大家總結(jié)了本門課程的核心考點，希望對大家的復(fù)習(xí)能有所幫助！

1、行列式

本章的核心考點是行列式的計算，包括數(shù)值型行列式的計算和抽象型行列式的計算，其中數(shù)值型行列式的計算又分為低階行列式和高階行列式兩種類型。對于低階的數(shù)值型行列式來說，主要的處理方法是：找1，化0，展開，即首先找行列式中最簡單的元素，利用行列式的性質(zhì)將最簡單元素所在的行或者列的其他元素均化為0，然后再利用行列式的展開定理對目標(biāo)行列式進行降階，最后利用已知公式求得目標(biāo)行列式的值。對于高階的數(shù)值型行列式來說，它的處理方法有兩種：一是三角化；二是展開。所謂的三角化就是利用行列式的性質(zhì)將目標(biāo)行列式化成上三角行列式或者下三角行列式，三角化的主要思想就是化零，即利用行列式中各元素之間的關(guān)系通過行列式的性質(zhì)化出較多的零，它是解決“爪型”行列式和“對角線型”行列式的主要方法。而所謂的展開就是利用行列式的展開定理對目標(biāo)行列式進行降階，一般解決的是遞推形式的行列式，而它的關(guān)鍵點則是找出與的結(jié)構(gòu)。對于數(shù)值型行列式來說，考試直接考查的題目相對較少，它總是伴隨著線性方程組或者特征值與特征向量等的相關(guān)知識出題的。對行列式的考查多以抽象型行列式的形式出現(xiàn)，這一部分的考題綜合性很強，與后續(xù)章節(jié)的聯(lián)系比較緊密，除了要用到行列式常見的性質(zhì)以外，更需要結(jié)合矩陣的運算，綜合特征值特征向量等相關(guān)考點，對考生能力要求較高，需要考生有扎實的基礎(chǔ)，對線性代數(shù)整個學(xué)科進行過細(xì)致而全面的復(fù)習(xí)。抽象行列式的計算常見的方法有三種：一是利用行列式的性質(zhì)；二是使用矩陣運算；三是結(jié)合特征值與特征向量。

2、矩陣

矩陣是線性代數(shù)的核心內(nèi)容，它是后續(xù)章節(jié)知識的基礎(chǔ)，矩陣的概念、運算及其相關(guān)理論貫穿著整個線性代數(shù)這門學(xué)科。這部分的考點較多，重點是矩陣的運算，尤其是逆矩陣、矩陣的初等變換和矩陣的秩是重中之重的核心考點。考試題目中經(jīng)常涉及到伴隨矩陣的定義、性質(zhì)、行列式、可逆陣的逆矩陣、矩陣的秩及包含伴隨矩陣的矩陣方程等。另外，這幾年還經(jīng)常出現(xiàn)與初等變換與初等矩陣相關(guān)的命題。本章常見題型有：計算方陣的冪、與伴隨矩陣相關(guān)的命題、與初等變換相關(guān)的命題、有關(guān)逆矩陣的計算與證明、解矩陣方程等。

3、向量

本章的核心考點是向量組的線性相關(guān)性的判斷，它也是線性代數(shù)的重點，同時也是考研的重點。2014年的考生一定要吃透向量組線性相關(guān)性的概念，熟練掌握有關(guān)性質(zhì)及判定法并能靈活應(yīng)用，在做此處題目的時候要學(xué)會與線性表出、向量組的秩及線性方程組等相關(guān)知識聯(lián)系，從各個方面加強對向量組線性相關(guān)性的理解。此章常見的考試題型有：判定向量組的線性相關(guān)性、向量組線性相關(guān)性的證明、判定一個向量能否由一向量組線性表出、向量組的秩和極大無關(guān)組的求法、有關(guān)秩的證明、有關(guān)矩陣與向量組等價的命題、與向量空間有關(guān)的命題（數(shù)一要求）。

4、線性方程組

考研數(shù)學(xué)重點考查的章節(jié)，從歷年真題來看，方程組出題的頻率較高，幾乎每年都有考題。本章的核心考點有：解的判定與解的結(jié)構(gòu)、齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求解與證明、齊次（非齊次）線性方程組的求解（含對參數(shù)取值的討論）。主要的題型有：線性方程組的求解、方程組解向量的判別及解的性質(zhì)、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)、兩個方程組的公共解、同解問題等。本章節(jié)常與向量章節(jié)聯(lián)系在一起出題，二者屬于同一問題的不同描述，在考題中經(jīng)常是交替出現(xiàn)的。

5、特征值與特征向量

考研數(shù)學(xué)重點考查的章節(jié)，線性代數(shù)的核心內(nèi)容，題多分值大，共有三部分重點內(nèi)容：特征值和特征向量的概念及計算、方陣的相似對角化、實對稱矩陣的正交相似對角化。核心題型有：數(shù)值型矩陣的特征值和特征向量的計算、抽象型矩陣特征值和特征向量的求法、判定矩陣的相似對角化、由特征值或特征向量反求矩陣A、有關(guān)實對稱矩陣的問題。本章節(jié)與二次型聯(lián)系也很緊密。

6、二次型

這部分需要掌握兩點：一是用正交變換法和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，核心是正交變換法。但是需要注意的是對于出現(xiàn)多重特征值時，解方程組所得的對應(yīng)的特征向量不一定是正交的，這時需要對所得到的向量組進行施密特正交化，然后再規(guī)范化。二是二次型正定性的判斷，核心考點是二次型正定性的判定方法。