2019考研數(shù)學(xué)備考答疑：一秒治愈你的考研心病

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• 2026考研專業(yè)課復(fù)習(xí)資料「真題▪筆記▪講義▪題庫」

每年的考研大軍中，總有一支特殊的隊(duì)伍，可以稱之為：拒考數(shù)學(xué)者。考研數(shù)學(xué)難于上青天嗎?好像并不像大家刻板印象中所認(rèn)知的這樣吧!為了讓大家能夠正確的認(rèn)識數(shù)學(xué)，以及了解數(shù)學(xué)和準(zhǔn)確的復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)，幫幫整理了以下問題，大家要記得收藏哦!

考研數(shù)學(xué)一直是很多文科孩子們的“心病”，面對數(shù)學(xué)的難點(diǎn)和弱項(xiàng)，我們應(yīng)該及早開始準(zhǔn)備。但是在準(zhǔn)備考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)卻總有這樣那樣的問題：用什么參考書?怎么安排和規(guī)劃?做題找不到門路怎么辦?為此，幫幫特地為大家總結(jié)了數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中容易出現(xiàn)的19個(gè)問題，幫助大家答疑解惑。

●市面或網(wǎng)上的考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料很多：考綱、各類文章、真題、各階段的模擬題，那么考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的基本依據(jù)是什么?

基本依據(jù)是考綱和歷年真題。考試大綱是命題依據(jù)，考生可以通過考綱獲得考研的最基本也是最權(quán)威的信息，如考試范圍和考試要求。而歷年真題在所有試題中含金量最高，可以通過對真題的分析獲得多方面的信息，如試題難度，核心考點(diǎn)等。

●能否簡單概括考研數(shù)學(xué)的要求?

我們依據(jù)什么來回答這個(gè)問題呢?我認(rèn)為是對考綱和真題的分析。從考綱看，考研數(shù)學(xué)對考生有掌握程度的要求，分為“了解”、“理解”和“掌握”;從考研真題看，考研數(shù)學(xué)的要求如果用三個(gè)關(guān)鍵字概括，即：“基礎(chǔ)”、“方法”和“熟練”。

●“基礎(chǔ)”、“方法”和“熟練”具體指什么?

考生可任選一道考研真題，該題可能有一定難度和綜合性，但其分解之后的考點(diǎn)都在考綱規(guī)定的考點(diǎn)范圍內(nèi)，說明考研數(shù)學(xué)重基礎(chǔ)。

那么打牢基礎(chǔ)是否能輕松應(yīng)對考試呢?不夠，還需要在此基礎(chǔ)上總結(jié)方法。比如中值定理相關(guān)的證明題是令不少考生頭痛的一類題。考生把基礎(chǔ)內(nèi)容(閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理)掌握好后(定理內(nèi)容能完整表述，定理本身會證)，直接做真題，很可能沒什么思路，不知道朝哪個(gè)方向想。

知識從理解到應(yīng)用有一個(gè)過程：理解了不代表會用，應(yīng)用還有個(gè)方向問題——在哪方面應(yīng)用呢?這時(shí)真題的價(jià)值就顯現(xiàn)出來了：真題是很好的素材，通過對歷年真題的分析總結(jié)，可以對真題的具體應(yīng)用有直觀認(rèn)識，對真題的命題思路有全面認(rèn)識。

換句話說，通過對真題“歸納題型，總結(jié)方法”可以讓考生知道哪道題目往哪個(gè)方向想。以中值定理相關(guān)的證明這類題型為例，如果總結(jié)到位了，就能達(dá)到如下效果：拿到一道此類型的題目，一般可以從條件出發(fā)進(jìn)行思考，看要證的式子是含一個(gè)中值還是兩個(gè)。

若是一個(gè)，再看含不含導(dǎo)數(shù)，若含導(dǎo)數(shù)，優(yōu)先考慮羅爾定理，否則考慮閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(主要是兩個(gè)定理——介值定理和零點(diǎn)存在定理);若待證的式子含兩個(gè)中值，則考慮拉格朗日定理和柯西定理。

●后面的時(shí)間如何安排，如何規(guī)劃?

一般來說，一個(gè)完整的考研復(fù)習(xí)周期為近一年的時(shí)間——從3月到12月，可以劃分為“考研四季”：考研之春(3-6月)，考研之夏(7-8月)，考研之秋(9-10月)和考研之冬(11-12月)。前三季對應(yīng)考研數(shù)學(xué)的三個(gè)要求——“基礎(chǔ)”、“方法”和“熟練”，第四季的任務(wù)是模擬演練，查漏補(bǔ)缺。

以上是大的規(guī)律性的東西。每位考生可以根據(jù)自身的情況制定自己的復(fù)習(xí)計(jì)劃。

●“基礎(chǔ)”、“方法”我相對完整地過了一遍，那接下來怎么達(dá)到“熟練”呢?

考生可能對考研沒有透徹的理解，但一定對高考有較全面的把握。而考研數(shù)學(xué)和高考數(shù)學(xué)有不少相似之處，那么大家如何達(dá)到高考數(shù)學(xué)的“熟練”的要求呢?多做題是有效的途徑。

做什么題?真題和模擬題。優(yōu)先選真題，市面上有十幾年的真題解析，網(wǎng)上也有一些資料。此外，假設(shè)考生考數(shù)學(xué)三，那么不光做數(shù)三的歷年真題，數(shù)一數(shù)二，只要在數(shù)三的考試范圍內(nèi)的真題，也要做。最后，想要達(dá)到“熟練”，分享一句賣油翁的話，“無他，唯手熟爾”。

●剛做了兩套測試卷，感覺不理想，“基礎(chǔ)”、“方法”我好像都沒掌握好，受打擊呀。

李開復(fù)說過“挫折不是懲罰，而是成長的契機(jī)”。測試成績不理想，感覺受打擊也是人之常情。但更積極的態(tài)度是將其看成完善、提升的機(jī)會。暴露出問題不可怕，甚至是必要的。我們還有相對充足的時(shí)間，完全可以有大幅度的提升。

你這種情況也不少。那既然發(fā)現(xiàn)了自己基礎(chǔ)不牢，方法也未完全掌握，那怎么做其實(shí)自己也明白了。數(shù)學(xué)是很“誠實(shí)”的學(xué)科，有的文科自己沒有什么思路，還可以寫點(diǎn)自己的認(rèn)識，但數(shù)學(xué)沒有思路，真的寫不出什么來。所以從頭做起，扎扎實(shí)實(shí)是必不可少的。當(dāng)然，也不要忘記“考研之秋”的任務(wù)。

●我基礎(chǔ)還可以，下個(gè)階段有沒有詳細(xì)些的建議?只一個(gè)“熟練”就夠了?

對于基礎(chǔ)不錯(cuò)，有志于考高分的考生，下個(gè)階段的復(fù)習(xí)可以在以下三個(gè)方面下功夫：適當(dāng)拓展難度，提升熟練度，提升準(zhǔn)確度。

要想在考場上游刃有余，只做與真題難度相當(dāng)?shù)念}目是不夠的。適當(dāng)做點(diǎn)難度超過真題的模擬題，可以使考生再面對真題時(shí)感覺“簡單”。也有考生問能否推薦模擬卷。大家可以上網(wǎng)上查查銷量最好的模擬卷，得到市場認(rèn)可的資料質(zhì)量不會錯(cuò)。

●有時(shí)復(fù)習(xí)狀態(tài)不好，有什么好的建議?

經(jīng)驗(yàn)性的文章網(wǎng)上有很多，這里不贅述了。

●復(fù)習(xí)全書要不要過一遍呢?很糾結(jié)。

有不少質(zhì)量不錯(cuò)的數(shù)學(xué)資料，考生不知如何取舍。我的看法是這樣：可以按照權(quán)威性給資料排個(gè)序，以高數(shù)資料為例：《同濟(jì)六版教材》《復(fù)習(xí)全書》各類模擬卷。這樣可以按照資料的權(quán)威性來選擇復(fù)習(xí)資料，過完教材過復(fù)習(xí)全書。

書不在多，而在精。真正的高手未必用了很多資料，但很可能是把權(quán)威性的資料用得很精。比如教材，包含了考綱要求的基礎(chǔ)知識，來龍去脈寫得很詳細(xì)，而且一些方法也蘊(yùn)含在題目中，但需要挖掘整理。

所以能把教材用精了的考生水平一定不低。再比如，《復(fù)習(xí)全書》經(jīng)過了時(shí)間檢驗(yàn)，質(zhì)量不錯(cuò)。怎么用精?過一遍肯定不行，得過兩、三遍。另外，題目最好自己動手做，而不是僅僅看。走筆至此，劉禹錫的《陋室銘》中的句子就在嘴邊：山不在高，有仙則靈;水不在深，有龍則靈……

●我是工作之后再回來考研的，前面沒有系統(tǒng)地復(fù)習(xí)，現(xiàn)在做題很吃力，要不要從基礎(chǔ)的開始看呢?

建議打牢基礎(chǔ)。“基礎(chǔ)不牢，地動山搖”。

●碰到一道題，想了十多分鐘想不出來，怎么辦?

不能一概而論，要視題和自己兩方面的情況而定。

從題的角度，可以看題的難度和重要程度。如果題目本身確實(shí)比較難，而自己目前基礎(chǔ)較薄弱，可以先放一放，等后面功底深厚了，再來個(gè)“回馬槍”;如果題目本身屬于核心考點(diǎn)，那確實(shí)應(yīng)該多花一些時(shí)間，兩個(gè)、三個(gè)十分鐘也值得。其他情況，考生可作相應(yīng)處理。

從自身的情況看，可以看基礎(chǔ)和時(shí)間。如果自己基礎(chǔ)較薄弱，那挑戰(zhàn)難題就不大明智;如果時(shí)間充裕，多思考下難題倒是無妨，但如果時(shí)間緊，而還有比較基礎(chǔ)的考點(diǎn)沒搞定，那還是把難題放一放好。

以上策略適用于備考，也適用于考場答題。考場上碰到一時(shí)想不出來的題目是正常的，建議先放一放，把能搞定的題目做完，再回過頭來琢磨這道題。

這樣做的好處是：萬一這道題做不出來，因?yàn)橐呀?jīng)搞定大部分基礎(chǔ)題，所以仍能得到一個(gè)可接受的分?jǐn)?shù);做出來，當(dāng)然是錦上添花了。另外，搞定大部分基礎(chǔ)題后，考生心理會“有底”，而在放松的狀態(tài)下是有利于做出較難的題目的。

有的同學(xué)做不出某道題，不愿意往下走，做下面的題會不舒服。我想提醒這類同學(xué)：我們畢竟是在考試，而不是做學(xué)問。

考試的目的是在限定的時(shí)間內(nèi)發(fā)揮出最佳水平，取得盡可能高的分?jǐn)?shù)。所以考試是個(gè)“條件最值”問題，我們無法取到“無條件最值”那種理想解。而做學(xué)問應(yīng)該花時(shí)間搞定每個(gè)點(diǎn)。考試是務(wù)實(shí)的，而做學(xué)問則帶有理想主義色彩。

●我是“二戰(zhàn)”考生，老是心里沒底怎么辦?

為什么會心里沒底?是擔(dān)心遺漏考點(diǎn)，還是擔(dān)心會的題做錯(cuò)，還是怕搞不定新題?

如果擔(dān)心遺漏考點(diǎn)，那么梳理體系是個(gè)不錯(cuò)的方法。找若干張空白的紙，可以按照章節(jié)，可以按照模塊，系統(tǒng)梳理該部分的知識點(diǎn)、方法和題型。一趟梳理過后，自己心里會“有底”一些：考試要求有哪些，自己掌握了哪些，哪些掌握得不牢固。

如果擔(dān)心會的題做錯(cuò)，那得分析做錯(cuò)的原因。一般來說可以通過多練來解決。也不排除是心理作用。其實(shí)不只是考試，處理工作以及生活中的問題都需要自信。自信的人能充分甚至超水平發(fā)揮自己的水平。自信源自何處?充分準(zhǔn)備和多練。

所謂“盡人事而待天命”，“改變能改變的事，接受不能改變的事，用智慧分辨二者的不同”以及“積極進(jìn)取，隨意而安”，道理都是相通的。我們把自己能做的事做好，就可以把心放下了。

●概率中的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)常考大題，這部分不大理解，但按照步驟也能做對，要不要花精力理解呢?

這就像練武，內(nèi)功沒有長進(jìn)，也沒有融會貫通，但是記住了招式，這樣行嗎?也未必不行。因?yàn)檎惺揭彩俏涔Φ囊徊糠郑�遇見水平較低的對手，按照招式走也常常有效。但這是多數(shù)習(xí)武者追求的嗎?

答案顯而易見。對于備考而言，“理解”、“融會貫通”能提升考生的內(nèi)功，而排除偶然因素后，內(nèi)功深厚是考高分的必要條件。

●線性代數(shù)向量那部分的定理比較抽象，一定要會證明嗎?

向量部分有兩大部分內(nèi)容需要重點(diǎn)把握：一部分是向量的兩個(gè)核心概念“線性相關(guān)”和“線性表出”與線性方程組的關(guān)系;另一部分是向量自身有一些定理，需要把握。

前一部分對處理數(shù)值型向量組的“線性相關(guān)”和“線性表出”問題很有效——處理“線性相關(guān)”問題轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組有非零解的問題;處理“線性表出”問題轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組的解的存在性問題。

后一部分對考生的邏輯思維能力要求較高。定理內(nèi)容要熟悉，大部分的定理要會證明。如“n(n>=2)個(gè)向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的充要條件是存在一個(gè)向量能由其余向量線性表出”，該定理有助于理解“線性相關(guān)”這個(gè)概念的含義。

另外該定理的證明過程中包含著證明一個(gè)向量由一個(gè)向量組線性表出的思路：找一個(gè)包含這個(gè)向量和向量組的等式，說明該向量的系數(shù)不為0即可。

●線代既靈活又抽象，怎么把握呢?

幫幫問過不少考生這個(gè)問題：線性代數(shù)的知識結(jié)構(gòu)是樹形結(jié)構(gòu)還是網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)?不少同學(xué)回答網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。考生首先應(yīng)該把考綱規(guī)定的每個(gè)考點(diǎn)掌握好，接下來完成“歸納題型，總結(jié)方法”的任務(wù)(可以自己把參考資料總結(jié)的方法消化吸收，也可以把老師講的方法消化吸收)，接下來就是形成體系和強(qiáng)化重難點(diǎn)了。

如何形成體系呢?用核心的概念把相關(guān)的知識串起來是個(gè)不錯(cuò)的方法。比如n階矩陣A可逆有多少等價(jià)條件?從行列式的角度是A的行列式不等于0，從向量的角度是A的列向量組或行向量組線性無關(guān)，從線性方程組的角度是Ax=0僅有零解或Ax=b有唯一解，從秩的角度是r(A)=n，從特征值的角度是A的特征值不含0，從二次型的角度是A的轉(zhuǎn)置乘A正定。

還有，要有尋根究底的精神。比如，我們討論下秩這個(gè)讓考生百感交集的概念。首先要搞清楚秩是什么?線性代數(shù)中有兩個(gè)秩：一個(gè)矩陣的秩，一個(gè)向量組的秩。矩陣的秩是矩陣非零子式的最高階數(shù)。一個(gè)矩陣的秩為k意味著什么?要會“翻譯”。

“直接翻譯”的結(jié)論是矩陣非零子式的最高階數(shù)為k。只會“直接翻譯”還不足以應(yīng)對考題，還得會“間接翻譯”：該矩陣存在k階非零子式，并且該矩陣不存在k+1階非零子式。

再進(jìn)一步思考：前半句話用秩的語言怎么描述?應(yīng)為r(A)>=k;后半句話用秩的語言怎么描述?應(yīng)為r(A)<=k。再思考：該矩陣不存在k+1階非零子式包含幾種情況?應(yīng)有兩種情況：1)矩陣存在k+1階子式，但k+1階子式全為0;2)矩陣不存在k+1階子式(如矩陣是k階方陣)。這樣關(guān)于矩陣的秩的概念才理解到位了，但還需多做題才能達(dá)到熟練。

類似地，我們可以對“向量組的秩”這個(gè)概念做層層剖析。首先，向量組的秩是向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)。什么是極大線性無關(guān)組?顧名思義即個(gè)數(shù)最多的線性無關(guān)的子向量組。

但是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義必不可少。這個(gè)地方提到一個(gè)問題：有同學(xué)對于比較抽象的概念比較頭疼，試圖拋開嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述，而通過舉例子等方式理解，這樣可以嗎?不行!舉例子確實(shí)有助于理解，但代替不了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述。

其實(shí)，定義理解好了，方法就是自然而然的了。考生可以思考相關(guān)問題：如極大無關(guān)組是否唯一?如果不唯一，那它們是什么關(guān)系?

還可以繼續(xù)思考矩陣的秩和向量組的秩的關(guān)系。任給一個(gè)矩陣A，矩陣可以按列分塊，也可以按行分塊，這樣我們可以得到三個(gè)秩——矩陣的秩，矩陣的列向量組的秩和矩陣的行向量組的秩。這三個(gè)秩是什么關(guān)系?結(jié)論是相等。這個(gè)結(jié)論不需要證明，會用即可。

●總是感覺概率理解不透徹，不好把握。

從考試的角度，大家看看歷年真題就發(fā)現(xiàn)比較明顯的規(guī)律：概率的題型相對固定，哪考大題哪考小題非常清楚。概率常考大題的地方是：隨機(jī)變量函數(shù)的分布，多維分布(邊緣分布和條件分布)，矩估計(jì)和極大似然估計(jì)。其它知識點(diǎn)考小題，如隨機(jī)事件與概率，數(shù)字特征等。

從學(xué)科的角度，概率的知識結(jié)構(gòu)與線性代數(shù)不同，不是網(wǎng)狀知識結(jié)構(gòu)，而是躺倒的樹形結(jié)構(gòu)。第一章隨機(jī)事件與概率是基礎(chǔ)知識，在此基礎(chǔ)上可以討論隨機(jī)變量，這就是第二章的內(nèi)容。隨機(jī)變量之于概率正如矩陣之于線性代數(shù)。

考生也可以看看考研真題，數(shù)一、數(shù)三概率考五道題，這五題的第一句話為“設(shè)隨機(jī)變量X……”，“設(shè)總體X……”，“設(shè)X1，X2，…，Xn為來自X的簡單隨機(jī)樣本”，無論“隨機(jī)變量”、“總體”和“樣本”本質(zhì)上都是隨機(jī)變量。所以隨機(jī)變量的理解至關(guān)重要。討論完隨機(jī)變量之后，討論其描述方式。分布即為描述隨機(jī)變量的方式。

分布包括三種：分布函數(shù)、分布律和概率密度。其中分布函數(shù)是通用的描述工具，適用于所有隨機(jī)變量，分布律只針對離散型隨機(jī)變量而概率密度只針對連續(xù)型隨機(jī)變量。之后討論常見的離散型和連續(xù)性隨機(jī)變量，考研范圍內(nèi)需要考生掌握七種常見分布。

介紹完一維隨機(jī)變量之后，推廣一下就得到了多維隨機(jī)變量。多維分布總體上分成三種：聯(lián)合分布，邊緣分布和條件分布。其中每種分布又細(xì)分為分布函數(shù)、分布律和概率密度。只不過條件分布函數(shù)我們不考慮。該章常考大題，常考隨機(jī)變量函數(shù)的分布和邊緣分布、條件分布。之后討論隨機(jī)變量的獨(dú)立性。

分布包含著隨機(jī)變量的全部信息，如果只關(guān)心部分信息就要考慮數(shù)字特征了。數(shù)字特征考小題。把公式性質(zhì)記清楚，多練習(xí)即可。

大數(shù)定律和中心極限定理是偏理論的內(nèi)容，考試要求不高。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)是對概率論的應(yīng)用。其中考大題的地方是參數(shù)估計(jì)(矩估計(jì)和極大似然估計(jì))，考小題的點(diǎn)是常用統(tǒng)計(jì)量及其數(shù)字特征，三大統(tǒng)計(jì)分布，正態(tài)總體條件下統(tǒng)計(jì)量的特殊性質(zhì)。

●經(jīng)常看著會，但一動手就會發(fā)現(xiàn)問題：要么是哪卡住了，要么是做得慢。什么原因，怎么解決?

這是考生普遍性的問題。看著會說明考生對基本考點(diǎn)、基本方法有一定認(rèn)識;但一動手就發(fā)現(xiàn)問題多多，說明要么考生理解不到位(考試要求考生對考點(diǎn)理解到一定深度);做得慢，說明不熟練。

那么如何解決呢?我覺得可以在兩方面下功夫：理解和熟練。如果理解不透徹，不到位，可以通過聽課、看書、做題解決;如果已經(jīng)理解了，但不熟練，那只有多練，多做題了。

●數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三，高數(shù)都是大頭，高數(shù)命題有什么規(guī)律嗎?

根據(jù)對2014年的真題分析，發(fā)現(xiàn)高數(shù)命題有如下規(guī)律：

1)側(cè)重對數(shù)一、數(shù)三獨(dú)有知識的考查。數(shù)一有什么獨(dú)有知識?大的模塊有空間解析幾何、多元積分(三重積分、曲線積分和曲面積分);數(shù)三獨(dú)有的知識包括經(jīng)濟(jì)應(yīng)用和級數(shù)(相對數(shù)二而言)。比如2014年真題中數(shù)一考了切平面方程，斯托克斯公式還有曲面積分;數(shù)三考了邊際收益和冪級數(shù)求和展開。

2)考查考生綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。說白了就是應(yīng)用題。比方上面提到的數(shù)三的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用，數(shù)二考到了形心質(zhì)心。前者是導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用，后者是定積分的幾何應(yīng)用。

3)考點(diǎn)覆蓋較全。這提示考生不要有僥幸心理，不要忽略次要考點(diǎn)，要做全面復(fù)習(xí)。這與把握重點(diǎn)是不矛盾的。這里可以把考研政治中的馬克思主義哲學(xué)基本原理用過來：全面復(fù)習(xí)和把握重點(diǎn)的辯證統(tǒng)一。

●為什么做題這么重要?多看不也行嗎?

幫幫經(jīng)常問同學(xué)兩個(gè)問題，你也可以試著回答一下這兩個(gè)問題。

1)考研數(shù)學(xué)是跟高考數(shù)學(xué)比較像，還是跟奧數(shù)比較像?多數(shù)同學(xué)都認(rèn)為跟高考數(shù)學(xué)像。我也認(rèn)可這種回答。因?yàn)槎际菢?biāo)準(zhǔn)化測試，考查的也是通性通法。

2)大家都是從高考過來的，有沒有見過這兩種同學(xué)：基本不做題，光聽光看，結(jié)果高考數(shù)學(xué)考得非常好;不聽課，但自己埋頭做題，結(jié)果高考數(shù)學(xué)考得非常理想?多數(shù)同學(xué)認(rèn)為沒見過第一種同學(xué)，有第二種同學(xué)。我也是這么認(rèn)為的。道理也不難：考試的形式如果是這樣，監(jiān)考老師坐在那，問：“同學(xué)，請你說說中值定理相關(guān)證明這類題的思路”，那么做題確實(shí)有點(diǎn)多余，我們的備考改成“坐而論道”就可以了。

可是現(xiàn)實(shí)是考試的形式是筆試，是“雙規(guī)”——在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，在規(guī)定的地點(diǎn)用筆答題。所以不做題，做題少就不行了。

如果用一句話總結(jié)一下聽課與做題的關(guān)系，我覺得是：做題是取得好成績必要條件，而聽課是非必要條件。那聽課的作用是什么?是幫助考生理解，節(jié)省考生自己總結(jié)方法的時(shí)間。