2018考研數學：特征值、特征向量

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特征值、特征向量是線性代數的重要內容之一，也是歷年考研重點之一。它涉及到行列式、矩陣、相關、無關、秩、基礎解系等一系列問題，知識點多，綜合性強，必須要好好復習。后面部分的二次型實際上是特征值的幾何應用，復習二次型時一定要搞清楚二次型與特征值、特征向量之間的內在聯系。下面請隨老師來總結一下有關特征值、特征向量的相關內容及計算。

1.特征值與特征向量的概念

(1)定義：設 為 階方陣，如果數 和 維非零列向量 滿足 ，則稱 為 的特征值， 為 的對應于 的特征向量。

(2)特征方程： 稱為矩陣 的特征方程， 稱為 的特征多項式。

2.特征值與特征向量的計算方法

(1)定義法

(2)特征方程法

①由 求出全部特征值 ( );

②求出每個方程 的基礎解系 ( )( );

③線性組合 ( 不同時為0)就是 的對應于 的全部特征向量。

(3)性質法(運用特征值與特征向量的性質)。

3.特征值的性質

(1)和、積性質

① ， 稱為 的跡， 是 的全部特征值;

② ;其中 。

【注】 可逆 ( )

不可逆 0是 的特征值。

(2) 與 有相同的特征值。

(3)若 可逆， 是 的特征值，則 分別有特征值 ，且與 有相同的特征向量。

(4)實對稱矩陣的特征值為實數。

(5)若 是 的特征值， 是對應的特征向量，則 是 的特征值， 是其對應的特征向量;特別是， 分別有特征值 和特征向量 。若 的全部特征值為 ，則 的全部特征值為 ，其中 是任意多項式。

4.特征向量的性質

(1)對應于不同特征值的特征向量線性無關;

(2)實對稱矩陣的對應于不同特征值的特征向量相互正交;

(3)若 是對應于同一個特征值 的特征向量，則 也是對應于 的特征向量;

【注】若 是對應于不同特征值 的特征向量，則 必不是特征向量。

(4)若 是 重特征值，則屬于 的線性無關的特征向量的個數不超過 個;

(5)若 是實對稱矩陣的 重特征值，則屬于 的線性無關的特征向量的個數有 個。

本文主要介紹了特征值、特征向量的概念、性質及相關計算方法。希望2018考生可以多去練習及應用。這一部分考研出題較靈活，經常會利用相關性質考查相關題目。希望2018考生可以牢牢掌握該知識點。最后，希望2018考研的同學們好好復習并掌握這一部分的知識，爭取在2018研究生入學考試中，取得優異成績!