2018考研數學：二次型的常考題型及基本算法

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二次型是線性點數的重點內容之一，也是考研數學中必考的內容。二次型實際上是特征值的幾何應用，復習二次型時一定要搞清楚二次型與特征值、特征向量之間的內在聯系。下面請隨老師來總結一下有關二次型的相關重點內容及常考題型。

一、考試要求

1.了解二次型的概念，會用矩陣形式表示二次型，了解合同變換和合同矩陣的概念;

2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的標準形、規范形等概念，了解慣性定理，會用正交變換法和配方法化二次型為標準形;

3.理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法。

二、常考題型

1.二次型的標準形;

2.二次型的規范形和慣性指數;

3.正定二次型和正定矩陣;

4.矩陣合同的判斷。

三、化二次型為標準形

1.相關理論

定理1(可逆變換)

, 可逆，即 ，實對稱矩陣都合同于一對角矩陣。

【注】標準形的系數不一定是特征值， 的列不一定是特征向量。

定理2(正交變換)

, 為正交矩陣，

即 ，其中 是 的特征值， 是由對應的兩兩正交的單位特征向量組成。

2. 計算方法

方法1：配方法

先將含 的所有項配成完全平方，再將含 的所有項配成完全平方，依次類推，直至配完;若二次型不含平方項，則用平方差公式化出平方項，然后逐步配方。

方法2：正交變換法

寫出矩陣 ;

求特征值 ;

求特征向量 ，并將其正交單位化,記為 (注：正交化只在屬于同一個特征值的特征向量內部進行);

令 ，則 為正交陣，且 ， 與 對應;

令 ，則 。

本文主要介紹了二次型的相關考試要求、考試中常考題型及最基本的計算方法。希望對2018考研的同學們有一定的幫助。