2012考研數學大綱函數的連續性

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(一)考試內容

函數的概念及表示法，函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性，復合函數、反函數、分段函數和隱函數，基本初等函數的性質及其圖形，初等函數，函數關系的建立。

數列極限與函數極限的定義及其性質，函數的左極限和右極限，無窮小量和無窮大量的概念及其關系，無窮小量的性質及其無窮小量的比較，極限的四則運算，極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則，兩個重要極限。

函數連續的概念，函數間斷點的類型，初等函數的連續性，閉區間上連續函數的性質。

(二)考試要求

1.理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關系。

2.了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。

3.理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。

4.掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念。

5.了解數列極限和函數極限(包括左極限和右極限)的概念。

6.了解極限的性質與極限存在的兩個準則，掌握極限的四則運算法則，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

7.理解無窮小量的概念和基本性質，掌握無窮小量的比較方法，了解無窮大量和無窮小量的關系。

8.理解函數連續性的概念(含左連續和右連續)，會判斷函數間斷點的類型。

9.了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應用這些性質。

我們在求解函數的解析式時，需要涉及到導數、積分、級數、微分方程等基本知識，所以求解函數解析式往往是一些知識的綜合應用，需要逐步求解。函數的性質是考試的重點，比如奇偶性、周期性，在極限這一章體現的不明顯，但是在定積分和二重積分的運算中如果能夠準確的應用就能夠化簡運算，解決難題，所以屬于技巧性的考察，在考研的試題中對技巧的考察屬于重難點，所以考生應該提起重視。函數的有界性是證明題中經常用到的，但要注意閉區間上應用，如果是開區間，就要求解左端點處的右極限、右端點處的左極限。極限是考研的重點，熟練掌握求解極限的方法是得高分的關鍵，極限的運算法則必須遵從，兩個極限都存在才可以進行極限的運算，如果有一個不存在就無法進行運算。無窮小以及無窮大量是考察的重點，首先要理解概念，弄清無窮大與無界的區別，無窮小與有界的區別，(前者能推出后者，后者不能推出前者。)對于無窮小的運算，大家最好能夠熟練掌握等價無窮小代換，這樣可以化簡極限運算，但在運算中要注意等價無窮小代換的條件，一般是積式用。在這需要大家注意一下階的概念。極限的保號性應用比較廣泛，要領會如何“保號”得到不等式。在證明中還會用到最值定理，介值定理，零點定理。我們應用最值定理估值計算，應用介值定理證明存在零點。函數的連續性是考試的重點，可能考察函數、分段函數、絕對值函數、導函數的連續性，應用左右極限進行求解，在求解過程中經常會遇到一些特殊的函數比如指數函數，反三角函數，當變量趨近于不同的值時，極限可能不同。