2017考研數(shù)學(xué)：七大中值定理精講

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在高等數(shù)學(xué)內(nèi)容中，七大中值定理（零點(diǎn)定理、介值定理、三大微分中值定理、泰勒定理與積分中值定理）是大家在學(xué)習(xí)過(guò)程中認(rèn)為最難的部分。七大定理的難主要在于難理解、難應(yīng)用。

研究生入學(xué)考試中，與中值有關(guān)的問(wèn)題一直是考試中得分最少的題，我們應(yīng)如何更好的理解與掌握定理，靈活有效的使用定理？

▶第一，七大定理的歸屬。

零點(diǎn)定理與介值定理屬于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。三大中值定理與泰勒定理同屬于微分中值定理，并且所包含的內(nèi)容遞進(jìn)。積分中值定理屬于積分范疇，但其實(shí)也是微分中值定理的推廣。

▶第二，對(duì)使用每個(gè)定理的體會(huì)。

學(xué)生在看到題目時(shí)，往往會(huì)知道使用某個(gè)中值定理，因?yàn)檫@些問(wèn)題有個(gè)很明顯的特征—含有某個(gè)中值。關(guān)鍵在于是對(duì)哪個(gè)函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間上使用哪個(gè)中值定理。

1、使用零點(diǎn)定理問(wèn)題的基本格式是“證明方程f(x)=0在a,b之間有一個(gè)（或者只有一個(gè)）根”。從題目中我們一目了然，應(yīng)當(dāng)是對(duì)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)使用零點(diǎn)定理。應(yīng)當(dāng)注意的是零點(diǎn)定理只能說(shuō)明零點(diǎn)在某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)，當(dāng)要求說(shuō)明根在某個(gè)閉區(qū)間或者半開(kāi)半閉區(qū)間內(nèi)時(shí)，需要對(duì)這些端點(diǎn)做例外說(shuō)明。

2、介值定理問(wèn)題可以化為零點(diǎn)定理問(wèn)題，也可以直接說(shuō)明，如“證明在(a,b)內(nèi)存在ξ，使得f(ξ)=c”，僅需要說(shuō)明函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)連續(xù)，以及c位于f(x)在區(qū)間[a,b]的值域內(nèi)。

3、用微分中值定理說(shuō)明的問(wèn)題中，有兩個(gè)主要特征：含有某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（甚至是高階導(dǎo)數(shù)）、含有中值（也可能有多個(gè)中值）。應(yīng)用微分中值定理主要難點(diǎn)在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)。在微分中值定理證明問(wèn)題時(shí)，需要注意下面幾點(diǎn)：

（1）當(dāng)問(wèn)題的結(jié)論中出現(xiàn)一個(gè)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與一個(gè)中值時(shí)，肯定是對(duì)某個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)使用羅爾定理或者拉格朗日中值定理；

（2）當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與一個(gè)中值時(shí)，使用柯西中值定理，此時(shí)找到函數(shù)是最主要的；

（3）當(dāng)出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，通常歸結(jié)為兩種方法，對(duì)低一階的導(dǎo)函數(shù)使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理說(shuō)明；

（4）當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)中值點(diǎn)時(shí)，應(yīng)當(dāng)使用多次中值定理，在更多情況下，由于要求中值點(diǎn)不一樣，需要注意區(qū)間的選擇，兩次使用中值定理的區(qū)間應(yīng)當(dāng)不同；

（5）使用微分中值定理的難點(diǎn)在于如何構(gòu)造函數(shù)，如何選擇區(qū)間。對(duì)此我的體會(huì)是應(yīng)當(dāng)從需要證明的結(jié)論入手，對(duì)結(jié)論進(jìn)行分析。我們總感覺(jué)證明題無(wú)從下手，我認(rèn)為證明題其實(shí)不難，因?yàn)樽C明題的結(jié)論其實(shí)是對(duì)你的提示，只要從證明結(jié)論入手，逐步分析，必然會(huì)找到證明方法。

4、積分中值定理其實(shí)是微分中值定理的推廣，對(duì)變上限函數(shù)使用微分中值定理或者泰勒定理就可以得到積分中值定理甚至類似于泰勒定理的形式。因此看到有積分形式，并且?guī)в兄兄档淖C明題時(shí)，一定是對(duì)某個(gè)變上限積分在某點(diǎn)處展開(kāi)為泰勒展開(kāi)式或者直接使用積分中值定理。當(dāng)證明結(jié)論中僅有積分與被積函數(shù)本身時(shí)，一般使用積分中值定理；當(dāng)結(jié)論中有積分與被積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，一般需要展開(kāi)變上限積分為泰勒展開(kāi)式。