2017考研數學：七大中值定理精講

考研數學來源：網絡 2016-08-05　

在高等數學內容中，七大中值定理（零點定理、介值定理、三大微分中值定理、泰勒定理與積分中值定理）是大家在學習過程中認為最難的部分。七大定理的難主要在于難理解、難應用。

研究生入學考試中，與中值有關的問題一直是考試中得分最少的題，我們應如何更好的理解與掌握定理，靈活有效的使用定理？

▶第一，七大定理的歸屬。

零點定理與介值定理屬于閉區間上連續函數的性質。三大中值定理與泰勒定理同屬于微分中值定理，并且所包含的內容遞進。積分中值定理屬于積分范疇，但其實也是微分中值定理的推廣。

▶第二，對使用每個定理的體會。

學生在看到題目時，往往會知道使用某個中值定理，因為這些問題有個很明顯的特征—含有某個中值。關鍵在于是對哪個函數在哪個區間上使用哪個中值定理。

1、使用零點定理問題的基本格式是“證明方程f(x)=0在a,b之間有一個（或者只有一個）根”。從題目中我們一目了然，應當是對函數f(x)在區間[a,b]內使用零點定理。應當注意的是零點定理只能說明零點在某個開區間內，當要求說明根在某個閉區間或者半開半閉區間內時，需要對這些端點做例外說明。

2、介值定理問題可以化為零點定理問題，也可以直接說明，如“證明在(a,b)內存在ξ，使得f(ξ)=c”，僅需要說明函數f(x)在[a,b]內連續，以及c位于f(x)在區間[a,b]的值域內。

3、用微分中值定理說明的問題中，有兩個主要特征：含有某個函數的導數（甚至是高階導數）、含有中值（也可能有多個中值）。應用微分中值定理主要難點在于構造適當的函數。在微分中值定理證明問題時，需要注意下面幾點：

（1）當問題的結論中出現一個函數的一階導數與一個中值時，肯定是對某個函數在某個區間內使用羅爾定理或者拉格朗日中值定理；

（2）當出現多個函數的一階導數與一個中值時，使用柯西中值定理，此時找到函數是最主要的；

（3）當出現高階導數時，通常歸結為兩種方法，對低一階的導函數使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理說明；

（4）當出現多個中值點時，應當使用多次中值定理，在更多情況下，由于要求中值點不一樣，需要注意區間的選擇，兩次使用中值定理的區間應當不同；

（5）使用微分中值定理的難點在于如何構造函數，如何選擇區間。對此我的體會是應當從需要證明的結論入手，對結論進行分析。我們總感覺證明題無從下手，我認為證明題其實不難，因為證明題的結論其實是對你的提示，只要從證明結論入手，逐步分析，必然會找到證明方法。

4、積分中值定理其實是微分中值定理的推廣，對變上限函數使用微分中值定理或者泰勒定理就可以得到積分中值定理甚至類似于泰勒定理的形式。因此看到有積分形式，并且帶有中值的證明題時，一定是對某個變上限積分在某點處展開為泰勒展開式或者直接使用積分中值定理。當證明結論中僅有積分與被積函數本身時，一般使用積分中值定理；當結論中有積分與被積函數的導數時，一般需要展開變上限積分為泰勒展開式。