2017考研數(shù)學：高數(shù)定理的證明

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1、微分中值定理的證明

這一部分內容比較豐富，包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會證。
費馬引理的條件有兩個：1.f'(x0)存在2.f(x0)為f(x)的極值，結論為f'(x0)=0。考慮函數(shù)在一點的導數(shù)，用什么方法?自然想到導數(shù)定義。我們可以按照導數(shù)定義寫出f'(x0)的極限形式。往下如何推理?關鍵要看第二個條件怎么用。“f(x0)為f(x)的極值”翻譯成數(shù)學語言即f(x)-f(x0)<0(或>0)，對x0的某去心鄰域成立。結合導數(shù)定義式中函數(shù)部分表達式，不難想到考慮函數(shù)部分的正負號。若能得出函數(shù)部分的符號，如何得到極限值的符號呢?極限的保號性是個橋梁。
費馬引理中的“引理”包含著引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我們下面要討論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個考頻最高的，那羅爾定理當之無愧。該定理的條件和結論想必各位都比較熟悉。條件有三：“閉區(qū)間連續(xù)”、“開區(qū)間可導”和“端值相等”，結論是在開區(qū)間存在一點(即所謂的中值)，使得函數(shù)在該點的導數(shù)為0。該定理的證明不好理解，需認真體會：條件怎么用?如何和結論建立聯(lián)系?當然，我們現(xiàn)在討論該定理的證明是“馬后炮”式的：已經有了證明過程，我們看看怎么去理解掌握。如果在羅爾生活的時代，證出該定理，那可是十足的創(chuàng)新，是要流芳百世的。
閑言少敘，言歸正傳。既然我們討論費馬引理的作用是要引出羅爾定理，那么羅爾定理的證明過程中就要用到費馬引理。我們對比這兩個定理的結論，不難發(fā)現(xiàn)是一致的：都是函數(shù)在一點的導數(shù)為0。話說到這，可能有同學要說：羅爾定理的證明并不難呀，由費馬引理得結論不就行了。大方向對，但過程沒這么簡單。起碼要說清一點：費馬引理的條件是否滿足，為什么滿足?
前面提過費馬引理的條件有兩個——“可導”和“取極值”，“可導”不難判斷是成立的，那么“取極值”呢?似乎不能由條件直接得到。那么我們看看哪個條件可能和極值產生聯(lián)系。注意到羅爾定理的第一個條件是函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有很好的性質，哪條性質和極值有聯(lián)系呢?不難想到最值定理。那么最值和極值是什么關系?這個點需要想清楚，因為直接影響下面推理的走向。結論是：若最值取在區(qū)間內部，則最值為極值;若最值均取在區(qū)間端點，則最值不為極值。那么接下來，分兩種情況討論即可：若最值取在區(qū)間內部，此種情況下費馬引理條件完全成立，不難得出結論;若最值均取在區(qū)間端點，注意到已知條件第三條告訴我們端點函數(shù)值相等，由此推出函數(shù)在整個閉區(qū)間上的最大值和最小值相等，這意味著函數(shù)在整個區(qū)間的表達式恒為常數(shù)，那在開區(qū)間上任取一點都能使結論成立。
拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。掌握這兩個定理的證明有一箭雙雕的效果：真題中直接考過拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟;此外，這兩個的定理的證明過程中體現(xiàn)出來的基本思路，適用于證其它結論。
以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們對比一下兩個定理的結論。羅爾定理的結論等號右側為零。我們可以考慮在草稿紙上對拉格朗日定理的結論作變形，變成羅爾定理結論的形式，移項即可。接下來，要從變形后的式子讀出是對哪個函數(shù)用羅爾定理的結果。這就是構造輔助函數(shù)的過程——看等號左側的式子是哪個函數(shù)求導后，把x換成中值的結果。這個過程有點像犯罪現(xiàn)場調查：根據(jù)這個犯罪現(xiàn)場，反推嫌疑人是誰。當然，構造輔助函數(shù)遠比破案要簡單，簡單的題目直接觀察;復雜一些的，可以把中值換成x，再對得到的函數(shù)求不定積分。

2、求導公式的證明

2015年真題考了一個證明題：證明兩個函數(shù)乘積的導數(shù)公式。幾乎每位同學都對這個公式怎么用比較熟悉，而對它怎么來的較為陌生。實際上，從授課的角度，這種在2015年前從未考過的基本公式的證明，一般只會在基礎階段講到。如果這個階段的考生帶著急功近利的心態(tài)只關注結論怎么用，而不關心結論怎么來的，那很可能從未認真思考過該公式的證明過程，進而在考場上變得很被動。這里給2017考研學子提個醒：要重視基礎階段的復習，那些真題中未考過的重要結論的證明，有可能考到，不要放過。
當然，該公式的證明并不難。先考慮f(x)*g(x)在點x0處的導數(shù)。函數(shù)在一點的導數(shù)自然用導數(shù)定義考察，可以按照導數(shù)定義寫出一個極限式子。該極限為“0分之0”型，但不能用洛必達法則，因為分子的導數(shù)不好算(乘積的導數(shù)公式恰好是要證的，不能用!)。利用數(shù)學上常用的拼湊之法，加一項，減一項。這個“無中生有”的項要和前后都有聯(lián)系，便于提公因子。之后分子的四項兩兩配對，除以分母后考慮極限，不難得出結果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意點的導數(shù)公式。
類似可考慮f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的導數(shù)公式的證明。

3、積分中值定理

該定理條件是定積分的被積函數(shù)在積分區(qū)間(閉區(qū)間)上連續(xù)，結論可以形式地記成該定積分等于把被積函數(shù)拎到積分號外面，并把積分變量x換成中值。如何證明?可能有同學想到用微分中值定理，理由是微分相關定理的結論中含有中值。可以按照此思路往下分析，不過更易理解的思路是考慮連續(xù)相關定理(介值定理和零點存在定理)，理由更充分些：上述兩個連續(xù)相關定理的結論中不但含有中值而且不含導數(shù)，而待證的積分中值定理的結論也是含有中值但不含導數(shù)。
若我們選擇了用連續(xù)相關定理去證，那么到底選擇哪個定理呢?這里有個小的技巧——看中值是位于閉區(qū)間還是開區(qū)間。介值定理和零點存在定理的結論中的中值分別位于閉區(qū)間和開區(qū)間，而待證的積分中值定理的結論中的中值位于閉區(qū)間。那么何去何從，已經不言自明了。
若順利選中了介值定理，那么往下如何推理呢?我們可以對比一下介值定理和積分中值定理的結論：介值定理的結論的等式一邊為某點處的函數(shù)值，而等號另一邊為常數(shù)A。我們自然想到把積分中值定理的結論朝以上的形式變形。等式兩邊同時除以區(qū)間長度，就能達到我們的要求。當然，變形后等號一側含有積分的式子的長相還是挺有迷惑性的，要透過現(xiàn)象看本質，看清楚定積分的值是一個數(shù)，進而定積分除以區(qū)間長度后仍為一個數(shù)。這個數(shù)就相當于介值定理結論中的A。
接下來如何推理，這就考察各位對介值定理的熟悉程度了。該定理條件有二：1.函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，2.實數(shù)A位于函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值之間，結論是該實數(shù)能被取到(即A為閉區(qū)間上某點的函數(shù)值)。再看若積分中值定理的條件成立否能推出介值定理的條件成立。函數(shù)的連續(xù)性不難判斷，僅需說明定積分除以區(qū)間長度這個實數(shù)位于函數(shù)的最大值和最小值之間即可。而要考察一個定積分的值的范圍，不難想到比較定理(或估值定理)。

4、微積分基本定理的證明

該部分包括兩個定理：變限積分求導定理和牛頓-萊布尼茨公式。
變限積分求導定理的條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，結論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導數(shù)為把積分號扔掉，并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。注意該求導公式對閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導數(shù)要區(qū)別對待：對應開區(qū)間上每一點的導數(shù)是一類，而區(qū)間端點處的導數(shù)屬單側導數(shù)。花開兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開區(qū)間上任意點x處的導數(shù)。一點的導數(shù)仍用導數(shù)定義考慮。至于導數(shù)定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權利了。單側導數(shù)類似考慮。
“牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學與積分學的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科。”這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數(shù)中舉足輕重的作用。而多數(shù)考生能熟練運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。
該公式和變限積分求導定理的公共條件是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區(qū)間上的一個原函數(shù)，結論是f(x)在該區(qū)間上的定積分等于其原函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值的差。該公式的證明要用到變限積分求導定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導定理的條件成立，故變限積分求導定理的結論成立。注意到該公式的另一個條件提到了原函數(shù)，那么我們把變限積分求導定理的結論用原函數(shù)的語言描述一下，即f(x)對應的變上限積分函數(shù)為f(x)在閉區(qū)間上的另一個原函數(shù)。根據(jù)原函數(shù)的概念，我們知道同一個函數(shù)的兩個原函數(shù)之間只差個常數(shù)，所以F(x)等于f(x)的變上限積分函數(shù)加某個常數(shù)C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側的表達式結合推出的等式變形，不難得出結論。