2017考研數(shù)學(xué)：行列式的計(jì)算

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行列式是線性代數(shù)的一部分，題目比較靈活，下面小編為同學(xué)們簡單講一下行列式的幾種計(jì)算方法，希望同學(xué)們可以有所啟發(fā)，弄清楚這種類型題。

對于數(shù)值型行列式來說，我們先看低階行列式的計(jì)算，對于二階或者三階行列式其是有自己的計(jì)算公式的，我們可以直接計(jì)算。三階以上的行列式，一般可以運(yùn)用行列式按行或者按列展開定理展開為低階行列式再進(jìn)行計(jì)算，對于較復(fù)雜的三階行列式也可以考慮先進(jìn)行展開。在運(yùn)用展開定理時(shí)，一般需要先利用行列式的性質(zhì)將行列式化為某行或者某列只有一個(gè)非零元的形式，再進(jìn)行展開。特殊低階行列式可以直接利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行求解。

對于高階行列式的計(jì)算，我們的基本思路有兩個(gè)：一是利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行三角化，也就是將行列式化為上三角或者下三角行列式來計(jì)算;二是運(yùn)用按行或者按列直接展開，其中運(yùn)用展開定理的行列式一般要求有某行或者某列僅有一個(gè)或者兩個(gè)非零元，如果展開之后仍然沒有降低計(jì)算難度，則可以觀察是否能得到遞推公式，再進(jìn)行計(jì)算。其中在高階行列式中我是用加邊法把其最終化為上(下)三角，或者就直接按行或者列直接展開了，展開后有的時(shí)候就直接是上或者下三角形行列式了，但有時(shí)其還不是上下三階，可能就要用到遞推的類型來處理此類題目了。總之，我們對于高階行列式要求不是很高，只要掌握幾種常見的情形的計(jì)算方法就可以了。

有的時(shí)候，對于那些比較特殊的形式，比如范德蒙行列式的類型，我們就直接把它湊成此類行列式，然后利用范德蒙行列式的計(jì)算公式就可以了，但是，我們一定要把范德蒙行列式的形式，一階其計(jì)算方法給它掌握住，我們在上課時(shí)也給同學(xué)們講解了其記憶的方面，希望同學(xué)們課下多多做些練習(xí)題進(jìn)行鞏固。

當(dāng)然對于行列式我們有時(shí)可能還會(huì)用到克萊默法則和拉普拉斯展開來計(jì)算，只是這些都是些特殊的行列式的計(jì)算，其有一定的局限性，比如1995年數(shù)三就考到了一題用克萊默法則來處理的填空題。

對于抽象型行列式來說，其計(jì)算方法就有可能是與后面的知識相結(jié)合來處理的。關(guān)于抽象型行列式的計(jì)算：

(1)利用行列式的性質(zhì)來計(jì)算，這里主要是運(yùn)用單行(列)可拆性來計(jì)算的，這種大多是把行列式用向量來表示的，然后利用單行或者列可拆性，把它拆開成多個(gè)行列式，然后逐個(gè)計(jì)算，這時(shí)一部分行列式可能就會(huì)出現(xiàn)兩行或者列元素相同或者成比例了，這樣簡化后便可求出題目中要求的行列式。

(2)利用矩陣的性質(zhì)及運(yùn)算來計(jì)算，這類題，主要是用兩個(gè)矩陣相乘的行列式等于兩個(gè)矩陣分別取行列式相乘，這里當(dāng)然要求必須是方陣才行。這類題目的解題思路就是利用已知條件中的式子化和差為乘積的形式，進(jìn)而兩邊再取行列式，便可得到所求行列式。之前很多年考研中都出現(xiàn)過此類填空或者選擇題。因此，此類題型同學(xué)們務(wù)必要掌握住其解題思路和方法，多做練習(xí)加以鞏固。

(3)利用單位矩陣的來求行列式，這類題目難度比前面題型要大，對矩陣的相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論要求比較高。早在1995年數(shù)一的考研試卷中出現(xiàn)過一題6分的解答題，這題就是要利用A乘以A的轉(zhuǎn)置等于單位矩陣E這個(gè)條件來代換的，把要求的式子中的單位矩陣換成這個(gè)已知條件來處理的。

(4)利用矩陣特征值來求行列式，這類題在考研中出現(xiàn)過很多次，利用矩陣的特征值與其行列式的關(guān)系來求行列式，即行列式等于矩陣特征值之積，這種方法要求同學(xué)們一定要掌握住，課下要多做些練習(xí)加以鞏固。