2017考研數(shù)學(xué)：中值定理證明

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中值定理證明是考研數(shù)學(xué)試卷中的重點難點，這道題得分率較低，難度較高，下面是小編為同學(xué)們簡單講一下中值定理的證明方法，希望同學(xué)們可以有所啟發(fā)，弄清楚這種類型題。

中值定理包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、格西中值定理、泰勒中值定理，這四個定理之間的聯(lián)和區(qū)別要弄清楚，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況。除泰勒定理外的三個定理都要求已知函數(shù)在某個閉區(qū)間上連續(xù)，對應(yīng)開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。柯西中值定理涉及到兩個函數(shù)，在分母上的那個函數(shù)的一階導(dǎo)在定義域上要求不為零，柯西中值定理還有一個重要應(yīng)用——洛必達法則，在求極限時會經(jīng)常用到。而且同學(xué)們需要掌握的不單單是這五個中值定理，而且關(guān)于他們本身的證明也是需要重點掌握的，尤其是費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、格西定理的證明過程，這個過程在教科書上都有證明的過程，同學(xué)們需要自己把這個都完全能夠掌握，不僅僅是因為在09年的真題考查過這個的證明，而是這幾個的證明思想是之后類似題目證明反復(fù)使用的。而閉區(qū)間上的連續(xù)定理主要是指的最值定理、介值定理、零點存在定理。

一般來講閉區(qū)間上連續(xù)的定理是直接用的，也就是用來直接證明一些類似與存在一點在某個區(qū)間內(nèi)使得某個函數(shù)是等于零的。而中值定理的應(yīng)用一般是需要通過構(gòu)造函數(shù)的，一般來講都是三步走，第一步去構(gòu)造函數(shù)，合理的去構(gòu)造函數(shù)是能夠做出這個證明題目最最關(guān)鍵的一步，而構(gòu)造函數(shù)的方法一般是通過對要求的那個等式積分得到，同時也要注意兩遍同時乘以一個函數(shù)，比如同時乘以ex，因為這個函數(shù)積分是不變的，所以會有這個。構(gòu)造完成后就是第二步去檢驗條件，看是用那個定理，一般來講，如果是求一階的導(dǎo)數(shù)等于0優(yōu)先想到的就是羅爾定理，如果是讓你求高階的一個式子等于零或者等于某個式子，那么優(yōu)先想到的就是泰勒公式了，因為上面的五個中值定理中，只有泰勒公式是會涉及到高階的，其他的幾個都是一階，如果知道的是一階，最多也是求解二階的。第三步就是求導(dǎo)驗證自己求出來的是否是要求證明的結(jié)果。