2016華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研大綱

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625數(shù)學(xué)分析考試大綱

一、考試目的

《數(shù)學(xué)分析》作為全日制碩士研究生入學(xué)考試的專業(yè)基礎(chǔ)課考試，其目的是考察考生是否具備進行本學(xué)科各專業(yè)碩士研究生學(xué)習(xí)所要求的水平。

二、考試的性質(zhì)與范圍

本考試是一種測試應(yīng)試者綜合運用所學(xué)的數(shù)學(xué)分析的知識的尺度參照性水平考試�？荚嚪秶�包括數(shù)學(xué)分析的基本的概念，理論和方法，考察考生的理解、分析、解決數(shù)學(xué)分析問題的能力。

三、考試基本要求

1.熟練掌握數(shù)學(xué)分析的基本概念、命題、定理；

2．綜合運用所學(xué)的數(shù)學(xué)分析的知識的能力

四、考試形式

閉卷考試。

五、考試內(nèi)容（或知識點）

一、數(shù)列極限

數(shù)列、數(shù)列極限的定義，收斂數(shù)列——唯一性、有界性、保號性、不等式性、迫斂性、四則運算，單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理�？挛鳒蕜t，重要極限。

二、函數(shù)極限

函數(shù)極限。定義，定義，單側(cè)極限，函數(shù)極限的性質(zhì)——唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性、迫斂性、四則運算、歸結(jié)原則（Heine定理）。函數(shù)極限的柯西準則。
無窮小量及其階的比較，無窮大量及其階的比較，漸近線。

三、函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)在一點的連續(xù)性、單側(cè)連續(xù)性、間斷點及其分類。在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)——有界性、保號性。連續(xù)函數(shù)的四則運算。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性。
閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)——有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致連續(xù)性、反函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)連續(xù)性。

四、導(dǎo)數(shù)和微分

導(dǎo)數(shù)定義，單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、費馬(Fermat)定理。和、積、商的導(dǎo)數(shù)、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)、微分概念、微分的幾何意義、微分的運算法則。

五、微分中值定理

Roll、Lagrange、Cauchy中值定理，不定式極限，洛比達（L’Hospital）法則，泰勒（Taylor）定理。（泰勒公式及其皮亞諾余項、拉格朗日余項、積分型余項）。極值、最大值與最小值。曲線的凸凹性。拐點，函數(shù)圖的討論。

六、實數(shù)的完備性

區(qū)間套定理，數(shù)列的柯西（Cauchy）收斂準則，聚點原理，有界數(shù)列存在收斂子列，有限覆蓋定理。

七、不定積分

原函數(shù)與不定積分，換元積分法、分部積分法，有理函數(shù)積分法，三角函數(shù)有理式的積分法，幾種無理根式的積分。

八、定積分

牛頓——萊布尼茨公式，可積的必要條件，可積的充要條件，可積函數(shù)類。絕對可積性，積分中值定理，微積分學(xué)基本定理。換元積分法，分部積分法。

九、定積分的應(yīng)用

簡單平面圖形面積。有平行截面面積求體積，曲線的弧長與微分。微元法、旋轉(zhuǎn)體體積與側(cè)面積，物理應(yīng)用（引力、功等）。

十、反常積分

無窮限反常積分概念、柯西準則，絕對收斂、無窮限反常積分收斂性判別法：比較判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法。無界函數(shù)反常積分概念，無界函數(shù)反常積分收斂性判別法。

十一、數(shù)項級數(shù)

級數(shù)收斂與和，柯西準則，收斂級數(shù)的基本性質(zhì)，正項級數(shù)比較原則。比式判別法與根式判別法、積分判別法。一般項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂，交錯級數(shù)，萊布尼茨判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法。絕對收斂級數(shù)的重排定理。

十二、函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的收斂與一致收斂概念，一致收斂的柯西準則。函數(shù)項級數(shù)的維爾斯特拉斯（Weierstrass）優(yōu)級數(shù)判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法，函數(shù)列極限函數(shù)與函數(shù)項級數(shù)和的連續(xù)性、逐項積分與逐項求導(dǎo)。

十三、冪級數(shù)

冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間，一致收斂性、連續(xù)性、逐項積分與逐項求導(dǎo)，冪級數(shù)的四則運算。

泰勒級數(shù)、泰勒展開的條件，初等函數(shù)的泰勒展開。

十四、傅里葉（Fourier）級數(shù)

三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、傅里葉（Fourier）級數(shù)，貝塞爾（Bessel）不等式，黎曼——勒貝格定理，按段光滑且以2π為周期的函數(shù)展開，傅里葉級數(shù)的收斂定理，以2π為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)。

十五、多元函數(shù)的極限和連續(xù)

平面點集概念（鄰域、內(nèi)點、界點、開集、閉集、開域、閉域），平面點集的基本定理——區(qū)域套定理、聚點原理、有限覆蓋定理。

二元函數(shù)概念。二重極限、累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

十六、多元函數(shù)的微分學(xué)

偏導(dǎo)數(shù)及其幾何意義，全微分概念，全微分的幾何意義，全微分存在的充分條件，全微分在近似計算中的應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分，一階微分形式不變性，方向?qū)��?shù)與梯度，混合偏導(dǎo)數(shù)與其順序無關(guān)性，高階導(dǎo)數(shù)，高階微分，二元函數(shù)的泰勒定理，二元函數(shù)的極值。

十七、隱函數(shù)定理

隱函數(shù)概念、隱函數(shù)定理、隱函數(shù)求導(dǎo)。

隱函數(shù)組概念、隱函數(shù)組定理、隱函數(shù)組求導(dǎo)、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，函數(shù)行列式。

幾何應(yīng)用，條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。

十八、含參量積分

含參量積分概念、連續(xù)性、可積性與可微性，積分順序的交換。

含參量反常積分的收斂與一致收斂，一致收斂的柯西準則。維爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法。連續(xù)性、可積性與可微性，Gamma函數(shù)。

十九、曲線積分

第一型和第二型曲線積分概念與計算，兩類曲線積分的聯(lián)系。

二十、重積分

二重積分定義與存在性，二重積分性質(zhì)，二重積分計算（化為累次積分）。格林（Green）公式，曲線積分與路徑無關(guān)條件。二重積分的換元法（極坐標(biāo)與一般變換）。

三重積分定義與計算，三重積分的換元法（柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與一般變換）。

重積分應(yīng)用（體積，曲面面積，重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力等）。

無界區(qū)域上的收斂性概念。無界函數(shù)反常二重積分。

在一般條件下重積分變量變換公式。

二十一、曲面積分

曲面的側(cè)。第一型和第二型曲面積分概念與計算，高斯公式。斯托克斯公式。

場論初步（梯度場、散度場、旋度場）。

六、考試題型

計算題、證明題。

七、參考書目：本科通用教材