2016北京師范大學數學教育綜合考研大綱（專業學位）

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2016年北京師范大學專業學位碩士研究生招生考試大綱

717數學教育綜合（數學教學論150分、數學分析85分、高等代數65分）

數學教育學概論考試大綱

一、數學教育學基本概述

考試內容

數學教師的專業特點數學教師的專業化發展數學教學論的學科定位及其意義

考試要求

1.掌握數學教師的專業特點.

2.掌握數學教師專業知識主要包括哪幾個方面.

3.理解數學教學論的學習對教師的專業化成長有什么意義和作用.

4.掌握數學教育學的學科定位及其意義

二、我國基礎教育數學課程改革

考試內容

我國基礎教育數學課程的發展義務教育數學新課程的基本理念、目標與內容普通高中數學新課程的基本理念、目標與內容

考試要求

1.了解我國基礎教育數學課程的發展歷程

2.理解義務教育新課程的基本理念、目標與內容

3.理解普通高中數學新課程的基本理念、目標與內容

三、數學教育觀的現代發展

考試內容

數學觀及其現代發展數學教育的基本觀念數學教師的數學觀和數學教育觀

考試要求

1.理解什么是數學觀及其現代發展

2.理解數學教育的基本觀念

3.掌握數學教師的數學觀和數學教育觀

四、數學學習理論簡介

考試內容

數學學習有意義學習數學學習理論對數學學習的啟示

考試要求

1.了解我同古代學習理論有哪些論點.

2.理解數學學習有哪些特點.

3.建構主義學習理論對學生的學習有何影響.

4.理解什么是有意義的數學學習.

5.掌握數學認知結構，并能舉例說明如何進行“同化”和“順應”.

7.理解智力因素和非智力因素對學生學習數學的影響.

五、數學教學的基本問題

考試內容

數學教學及其過程數學教學目標數學教學原則

考試要求

1．掌握數學教學有哪些基本特點.

2．掌握影響數學教學目標制定的因素有哪些.

3．掌握什么是數學教學的原則以及數學教學的一般原則有哪些.

4．掌握什么是啟發式教學原則.

5．了解數學教學的特殊原則有哪些，貫徹各原則時應有哪些要求.

六、數學教學方法與數學教學模式

考試內容

數學教學方法數學教學模式數學教學方法與數學教學模式的選擇

考試要求

1.了解當前我國數學教學方法的形成途徑有哪些,數學教學方法的發展有什么特點.

2．理解在數學教學中，以教師呈現為主、師生互動為主和學生活動為主的教學方法各有何優點與不足.

3．掌握“講解-傳授”、“引導-發現”、“自學-輔導”、“問題解決”四種基本教學模式的理論基礎及其應用時各自有些什么要求.

4．掌握選擇數學教學方法與數學教學模式應注意什么.

七、數學教學設計

考試內容

數學教學設計數學課說課

考試要求

1．了解如何進行教材分析．

2．了解數學課的課型有哪些，其基本結構各是怎樣的.

4．掌握如何進行教學設計，如何編寫說課稿．

5．掌握什么是教后反思，反思哪些內容，課后記記錄哪些內容.

八、數學課堂教學藝術

考試內容

數學課堂教學藝術數學課堂教學語言的藝術數學課堂教學導入藝術小組合作學習的藝術

考試要求

1．了解如何對數學課堂教學“提問”、“結束”、“板書”等藝術作論述。

九、數學概念教學

考試內容

數學概念及其特點數學概念學習的心理過程數學概念教學策略

考試要求

1．掌握具有屬種關系的數學概念的內涵和外延之間的關系.

2．掌握數學概念的特征.

3．了解數學概念定義的主要方式有哪些.

4．了解針對數學概念定義的不同方式應采用什么教學策略.

5．掌握進行數學概念教學應該注意哪些.

十、數學命題的教學

考試內容

數學命題教學的基本內涵數學命題教學的策略與方法數學命題教學的案例分析

考試要求

1.掌握什么是數學命題，數學中命題與概念、推理、證明的關系。

2.掌握數學命題教學的策略有哪些。

3.了解我國現行中學課本中有哪些幾何公理，掌握如何進行公理教學。

4.掌握定理、公式的引入有哪些常用的較好的方法，教學中應注意什么問題。

5.掌握定理、公式的教學要把握哪幾個環節。

6．掌握定理、公式證明中用到的思考方法主要有哪些。

十一、數學問題解決的教學

考試內容

數學問題解決數學問題解決的教學問題探究與綜合實踐活動數學實驗教學

考試要求

1．掌握數學問題的基本特點。

2．掌握影響數學教學目標制定的因素有哪些。

3．了解數學問題教學一般有哪些方法。

十二、數學思想方法教學

考試內容

數學思想方法及其意義中小學常用基本數學思想方法數學思想方法的教學策略與途徑

考試要求

1．數學知識與數學思想方法的關系。

2．理解什么是方程與函數思想方法以及數學模型思想。

十三、信息技術與數學教學

考試內容

信息技術在教育中應用的時代背景信息技術與數學教學信息技術在數學教學中的應用方式信息技術在數學教學應用中應注意的問題

考試要求

1.了解信息技術在教育中應用的時代背景。

2.理解在數學教學中運用信息技術需要注意哪些問題。

3．掌握如何運用信息技術進行數學教學。

課程與教學論數學綜合數學分析考試大綱

一、函數、極限、連續

考試內容

函數的概念及表示法函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性復合函數、反函數、分段函數和隱函數基本初等函數的性質及其圖形初等函數函數關系的建立

數列極限與函數極限的定義及其性質函數的左極限與右極限無窮小量和無窮大量的概念及其關系無窮小量的性質及無窮小量的比較極限的四則運算極限存在的兩個準則調有界準則和夾逼準則兩個重要極限:

函數連續的概念函數間斷點的類型初等函數的連續性閉區間上連續函數的性質

考試要求

1．理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關系.

2．了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性．

3．理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念．

4．掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念.

5．理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左、右極限之間的關系．

6．掌握極限的性質及四則運算法則.

7．掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法．

8．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限．

9．理解函數連續性的概念（含左連續與右連續），會判別函數間斷點的類型．

10．了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質．

二、一元函數微分學

考試內容

導數和微分的概念導數的幾何意義和物理意義函數的可導性與連續性之間的關系平面曲線的切線和法線導數和微分的四則運算基本初等函數的導數復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法高階導數一階微分形式的不變性微分中值定理洛必達（L’Hospital）法則函數單調性的判別函數的極值函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線函數圖形的描繪函數的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圓與曲率半徑

考試要求

1.理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關系．

2．掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式．了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分．

3．了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數．

4．會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數.

5．理解并會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會用柯西(Cauchy)中值定理．

6．掌握用洛必達法則求未定式極限的方法．

7．理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用．

9．了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑．

三、一元函數積分學

考試內容

原函數和不定積分的概念不定積分的基本性質基本積分公式定積分的概念和基本性質定積分中值定理積分上限的函數及其導數牛頓一萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分反常（廣義）積分定積分的應用

考試要求

1．理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念．

2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法．

3．會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分．

4．理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓－萊布尼茨公式．

5．了解反常積分的概念，會計算反常積分．

6．掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等）及函數的平均值．

四、多元函數微分學

考試內容

多元函數的概念二元函數的幾何意義二元函數的極限與連續的概念有界閉區域上多元連續函數的性質多元函數的偏導數和全微分全微分存在的必要條件和充分條件多元復合函數、隱函數的求導法二階偏導數方向導數和梯度空間曲線的切線和法平面曲面的切平面和法線二元函數的二階泰勒公式多元函數的極值和條件極值多元函數的最大值、最小值及其簡單應用

考試要求

1．理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義.

2．了解二元函數的極限與連續的概念以及有界閉區域上連續函數的性質.

3．理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性.

4．理解方向導數與梯度的概念，并掌握其計算方法.

5．掌握多元復合函數一階、二階偏導數的求法.

6．了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數.

7．了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程.

8．了解二元函數的二階泰勒公式.

9．理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題.

五、多元函數積分學

考試內容

二重積分與三重積分的概念、性質、計算和應用兩類曲線積分的概念、性質及計算兩類曲線積分的關系格林（Green）公式平面曲線積分與路徑無關的條件二元函數全微分的原函數兩類曲面積分的概念、性質及計算兩類曲面積分的關系高斯（Gauss）公式斯托克斯（Stokes)公式散度、旋度的概念及計算曲線積分和曲面積分的應用

考試要求

1．理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，了解二重積分的中值定理.

2．掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標），會計算三重積分（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）.

3．理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系.

4．掌握計算兩類曲線積分的方法.

5．掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函數全微分的原函數.

6．了解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，掌握計算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計算曲面積分的方法，并會用斯托克斯公式計算曲線積分.

7．了解散度與旋度的概念，并會計算.

8．會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、質心、、形心、轉動慣量、引力、功及流量等）.

六、無窮級數

考試內容

常數項級數的收斂與發散的概念收斂級數的和的概念級數的基本性質與收斂的必要條件幾何級數與p級數及其收斂性正項級數收斂性的判別法交錯級數與萊布尼茨定理任意項級數的絕對收斂與條件收斂函數項級數的收斂域與和函數的概念冪級數及其收斂半徑、收斂區間（指開區間）和收斂域冪級數的和函數冪級數在其收斂區間內的基本性質簡單冪級數的和函數的求法初等函數的冪級數展開式函數的傅里葉（Fourier）系數與傅里葉級數狄利克雷（Dirichlet）定理函數在[l,-l]上的傅里葉級數函數在[0,l]上的正弦級數和余弦級數

考試要求

1．理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件.

2．掌握幾何級數與級數的收斂與發散的條件.

3．掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法.

4．掌握交錯級數的萊布尼茨判別法.

5.了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系.

6．了解函數項級數的收斂域及和函數的概念.

7．理解冪級數收斂半徑的概念、并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法.

8．了解冪級數在其收斂區間內的基本性質（和函數的連續性、逐項求導和逐項積分），會求一些冪級數在收斂區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和.

9．了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件.

的麥克勞林（Maclaurin）展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開成冪級數.

11．了解傅里葉級數的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在[-l,l]上的函數展開為傅里葉級數，會將定義在[0,l]上的函數展開為正弦級數與余弦級數，會寫出傅里葉級數的和函數的表達式.

《高等代數》考試大綱

一、線性方程組

考試內容

高斯消元法，線性方程組的初等變換，解線性方程組，克萊姆（Cramer）法則，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件，非齊次線性方程組有解的充分必要條件，線性方程組解的性質和解的結構，齊次線性方程組的基礎解系和通解，解空間，非齊次線性方程組的通解

考試要求

l．會用高斯消元法解線性方程組，會用克萊姆法則．

2．理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件．

3．理解齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法.

4．理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念．

5．掌握用初等行變換求解線性方程組的方法．

二、行列式

考試內容

行列式的概念和基本性質，拉普拉斯展開，行列式的計算，行列式的幾何意義

考試要求

1．理解行列式的概念，掌握行列式的性質．

2．會應用行列式的性質計算行列式．

3．理解行列式的幾何意義.

三、矩陣

考試內容

矩陣的概念，矩陣的運算，矩陣的初等變換與初等矩陣，矩陣的等價，矩陣的秩，逆矩陣的概念和性質，矩陣可逆的充分必要條件，伴隨矩陣，分塊矩陣及其運算

考試要求

1．理解矩陣的概念，熟悉單位矩陣、純量矩陣、對角矩陣、對稱矩陣與反對稱矩陣，以及它們的性質．

2．掌握矩陣的運算及其性質.

3．理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質，以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣．

4．理解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法．

5．理解分塊矩陣及其運算．

四、域上的多項式

考試內容

未定元與域上的一元多項式，多項式的運算，多項式的整除性，輾轉相除法，不可約多項式及其判定，唯一分解定理，實數域與復數域上的多項式，有理數域上的多項式與整系數多項式，多元多項式、對稱多項式與韋達定理

考試要求

1.理解域上未定元與多項式的概念，掌握多項式的運算.

2.會用輾轉相除法求最大公因式，知道因式定理與余式定理，綜合除法.

3.理解唯一分解定理，知道代數學基本定理，掌握有理數域上多項式及其基本性質.

4.理解多元多項式的概念，掌握對稱多項式基本定理，知道韋達定理.

五、向量空間

考試內容

向量空間的概念，線性相關、線性無關及其性質，極大無關組，有限生成，基與維數，維數公式，向量的坐標，子空間，和與直和，線性映射與線性變換，向量空間的同構

考試要求

1．理解向量空間的概念，理解線性相關、線性無關，極大無關組等概念，會證明有關的重要性質.

2．理解基與維數的概念，會證明維數公式.

3．理解子空間、和與直和的概念，掌握子空間的判定方法.

4．知道線性映射與線性變換、向量空間的同構等概念，理解向量空間的同構定理.

六、線性變換

考試內容

線性變換及其矩陣，線性變換的對角化，矩陣的對角化，線性變換（矩陣）的特征值和特征向量，矩陣的相似，線性變換（矩陣）的特征多項式與極小多項式，不變子空間，準素分解，冪零線性變換（冪零矩陣），若當標準形

考試要求

1．理解線性變換及其矩陣的概念，理解線性變換的對角化與矩陣的對角化問題，理解矩陣的相似與相似等價類．

2．理解線性變化（矩陣）的特征值與特征向量的概念，并會求特征值與特征向量．

3．理解并會求線性變換（矩陣）的特征多項式，理解極小多項式的概念和性質.

4．理解不變子空間的概念，掌握準素分解、冪零線性變換的概念，知道若當標準形.

七、二次型

考試內容

二次型及其矩陣表示，合同變換與矩陣的合同，二次型的秩，二次型及其矩陣的正定性，慣性定理，二次型的典范形，雙線性函數

考試要求

1.掌握二次型及其矩陣表示，理解二次型秩的概念，理解合同變換與矩陣的合同概念

2.理解合同變換，會求二次型的典范形.

3.理解慣性定理，會求慣性指數．

4.理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法．

5.了解雙線性函數的概念及其性質.

八、歐氏空間

考試內容

歐氏空間的概念，內積，向量的正交，施密特正交化方法，標準正交基，正交補空間，正交變換與正交矩陣，對稱變換與對稱矩陣，酉空間

考試要求

1.理解歐氏空間的概念，會通過施密特正交化方法求標準正交基.

2.理解正交變換與正交矩陣，會求2階與3階正交矩陣.

3.理解對稱變換與對稱矩陣及其對角化問題.

4.了解酉空間的概念及其與歐氏空間的類比性質.