2016考研數學：如何理解可導與可微？

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在學習了函數、極限以及函數連續性的概念之后，我們開始進入一元函數微分學模塊的學習內容。高等數學又叫微積分，可見微分學在高等數學的學習中所占的重要地位。這一大塊的內容我們按照以下四部分進行展開學習，可導與可微，導數的計算，導數的應用，以及中間穿插著學習中值定理。每接觸一個新的模塊，我們首先應該理解概念。在這里我們需要理解什么是可導什么是可微。

首先通過導數的兩個實際背景，包括幾何(切線斜率)和物理(速度或者擴展為變化率)背景去理解導數的定義。大家會發現，導數的本質就是極限。極限是高等數學中處理問題的一個核心思想。那么有關極限的性質就可以拿來刻畫導數性質，例如左右導數的定義，導數存在的充要條件是左右導數存在且相等。類似函數連續的定義，從某點連續擴展到區間連續，我們也可以定義函數在開區間上可導，并且有了左右導數，我們可以繼續定義函數在閉區間上可導。由此得出導函數的概念。這里需要大家注意，導函數也是一種函數，所有用來研究函數的性質和工具同樣可以研究導函數，例如對導函數求極限、研究導函數的連續性、可導性等。導函數的導數我們稱為高階導數。以上是關于對導數定義的理解。

現在我們學習了函數的兩個性質：連續性和可導性。那么這兩者之間有什么關系呢?大家都知道這個定理：可導必連續。也就是題目中給出函數可導的條件，就隱含著告訴我們函數連續，關于這個知識點一般考察分段函數在某點可導，求參數取值，我們通常先討論函數連續性，再討論可導性。因為通過討論連續性一般可以求出其中一個參數取值，方便后續可導性的討論。比如下面這個例題