2015年寧波大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)考研初試大綱

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本《高等代數(shù)》考試大綱適用于寧波大學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試。

本課程考核內(nèi)容包括多項式理論、行列式、線性方程組、矩陣?yán)碚摗⒍�次型、線性空間、線性變換、λ-矩陣、歐氏空間九個部分.

一、多項式理論：多項式的整除，最大公因式，多項式的互素，不可約多項式與因式分解，重因式重根的判別，多項式函數(shù)與多項式的根.

重點掌握：重要定理的證明，如多項式的整除性質(zhì)，Eisenstein判別法，不可約多項式的性質(zhì),整系數(shù)多項式的因式分解定理等.運用多項式理論證明有關(guān)問題，如與多項式的互素和不可約多項式的性質(zhì)有關(guān)問題的證明與應(yīng)用以及用多項函數(shù)方法證明有關(guān)的問題.

二、行列式：行列式的定義、性質(zhì)和常用計算方法（如：三角形法、加邊法、降階法、遞推法、按一行一列展開法、Laplace展開法、范得蒙行列式法）。

重點掌握：n階行列式的計算及應(yīng)用.

三、線性方程組：向量組線性相（無）關(guān)的判別（相應(yīng)齊次線性方程組有無非零解、性質(zhì)判別法、行列式判別法、矩陣秩判別法）。向量組極大線性無關(guān)組的性質(zhì)、向量組之間秩的大小關(guān)系（向量組（Ι）可由向量組（Π）線性表示，則（Ι）的秩小于等于（Π）的秩）定理2及三個推論、矩陣的秩（行秩和列秩、矩陣秩的行列式判別法、矩陣秩的計算）、Cramer法則，線性方程組有（無）解的判別定理、齊次線性方程組有非零解條件（用系數(shù)矩陣的秩進行判別、用行列式判別、用方程個數(shù)判別）、基礎(chǔ)解系的計算及其性質(zhì)、齊次線性方程組通解的求法，非齊次線性方程組的解法和解的結(jié)構(gòu).

重點掌握：向量組線性相（無）關(guān)的判別、向量組之間秩與矩陣的秩、齊次線性方程組有非零解條件及基礎(chǔ)解系的性質(zhì)、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)與其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系的性質(zhì).

四、矩陣?yán)碚摚壕仃嚨倪\算，矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系及其應(yīng)用（求解線性方程組、求逆矩陣、求向量組的秩）、矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形、矩陣可逆的條件（與行列式、矩陣的秩、初等矩陣的關(guān)系）、伴隨矩陣及其性質(zhì)、分塊矩陣（包括矩陣乘法的常用分塊方法并證明與矩陣相關(guān)的問題）、矩陣的常用分解（如：等價分解，滿秩分解，實可逆陣的正交三角分解，Jordan分解），幾種特殊矩陣的常用性質(zhì)（如：準(zhǔn)對角陣，對稱矩陣與反對稱矩陣，伴隨矩陣、冪等矩陣，冪零矩陣，正交矩陣等）。

重點掌握：利用分塊矩陣的初等變換證明有關(guān)矩陣秩的等式與不等式，矩陣的逆與伴隨矩陣的性質(zhì)與求法，應(yīng)用矩陣?yán)碚摻鉀Q一些相關(guān)問題.

五、二次型理論：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形，實二次型在合同變換之下的規(guī)范型以及在正交變換之下的特征值標(biāo)準(zhǔn)型的求法、慣性定律的應(yīng)用，正定、半正定矩陣的判別及應(yīng)用、正定矩陣的一些重要結(jié)論及其應(yīng)用.
重點掌握：正定和半正定矩陣有關(guān)的證明，實二次型在合同變換之下的規(guī)范型以及在正交變換之下的特征值標(biāo)準(zhǔn)型的計算.

六、線性空間：線性空間、子空間的定義及性質(zhì)、求線性空間中一個向量組的秩、求線性（子）空間的基與維數(shù)的方法、基擴充定理，維數(shù)公式，基變換與坐標(biāo)變換，生成子空間，子空間直和，一些常見的子空間（線性方程組解的解空間、矩陣空間、多項式空間、函數(shù)空間、線性變換的特征子空間和不變子空間）。

重點掌握：向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的綜合證明，求線性（子）空間的基與維數(shù)的方法，維數(shù)公式的證明及應(yīng)用，特別是子空間直和的有關(guān)證明.

七、線性變換：線性變換的定義與運算，線性變換與n階矩陣的對應(yīng)定理，矩陣的特征多項式（包括最小多項式）及其有關(guān)性質(zhì)，求線性變換的矩陣和特征值以及特征向量的方法，線性無關(guān)特征向量的判別及最大個數(shù)，實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)，特征子空間，不變子空間，核與值域的定理。線性變換（包括矩陣）可對角化的條件（特征向量判別法，最小多項式判別法），Hamilton－Caylay定理.

重點掌握：線性變換（包括矩陣）的對角化，求線性變換的矩陣和特征值以及特征向量的方法，線性變換（矩陣）的特征值以及特征向量的性質(zhì)，線性變換的核與值域. 

八、λ-矩陣：λ-矩陣的處等變換，λ-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型，行列式因子，不變因子，處等因子，三種因子之間的關(guān)系，Jordan標(biāo)準(zhǔn)型理論。

重點掌握：求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。

九、歐氏空間:內(nèi)積和歐氏空間的定義及簡單性質(zhì)（柯西-布涅可夫斯基不等式，三角不等式，勾股定理等）。度量矩陣與標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法以及性質(zhì)的證明和應(yīng)用，正交變換（正交矩陣）的等價條件，對稱變換，求正交矩陣T，使實對稱矩陣A正交相似于對角矩陣。

重點掌握：歐氏空間的概念，標(biāo)準(zhǔn)正交基，Schimidt正交化方法，正交變換和對稱變換.

參考書目

《高等代數(shù)》，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組，北京：高等教育出版社，2003，第三版．