天津理工大學2015考研初試大綱：數學分析

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一、考試科目：數學分析（804）

二、考試方式：考試采用筆試方式。考試時間為180分鐘，試卷滿分為150分。

三、試卷結構與分數比重:

試卷共分為四部分

一、填空題

二、選擇題

三、計算題

四、證明題

四、考查的知識范圍:

第二章

1、數列的極限。2、函數的根限。

3、函數的連續性。4、無窮小與無窮大。

基本要求：

（1）掌握極限的定義，會用ε——N，ε—δ語言證明極限存在。

（2）會求極限，掌握關于極限的性質。

（3）掌握函數連續的概念，會判斷函數的連續性，會判斷間斷點及類型，熟悉連續函數的運算性質和局部性質。

（4）會比較無窮小的階，并會使用等價無窮小求極限。

（5）熟悉閉區間上連續函數的性質。

第三章實數連續性定理

1、實數連續性的基本定理。

2、閉區間上連續函數性質的證明。

基本要求：

（1）熟悉六個實數連續性定理的條件與結論，這六個定理是：單調有界數列必有極限，確界原理，閉區間套定理，有界無窮數列必有收斂子列，有限覆蓋定理，cauchy收斂準則。

（2）了解六個定理之間的邏輯關系。

（3）掌握函數一致連續的概念。

（4）掌握閉區間上連續函數的性質，并會使用這些性質證明一些較簡單的命題。

（5）熟悉閉區間上連續函數性質的證明過程。

第四章導數與微分

1、函數導數的定義與求導公式。

2、求導法則：

（1）四則運算法則，（2）復合函數求導法則。

（3）隱函數及參數分程表示的函數的求導法則。

3、高階導數

4、微分及其運算

基本要求

（1）掌握導數，左、右導數的定義，會用左、右導數求導數或證明導數的存在。

（2）熟練掌握求導法則，會求導數，包含高階導數。

（3）理解導數與微分之間的關系，會求微分。

第五章微分中值定理及其應用

1、中值定理。2、泰勒公式。

3、函數的單調性，凸性，極值。

4、L’Hospital法則。

基本要求：

（1）掌握三個中值定理特別是拉格朗日中值定理的應用。

（2）熟悉泰勒公式及其余項的兩種形式：拉格朗日余項和皮亞諾余項。

（3）會利用導數判斷函數的單調性，凸性，求拐點。

（4）會求函數的極值，最值。

（5）會使用L’Hospital法則求極限。

第六章不定積分

1、不定積分的概念與運算法則。

2、不定積分的計算。

基本要求：

（1）熟練運用積分公式。

（2）掌握換元積分法，分部積分法。

（3）掌握有理函數積分法，簡單有理函數和三角有理式的積分法。

第七章定積分

1、定積分的概念。2、定積分的可積性質。

3、定積分的性質。4、定積分的計算。

基本要求：

（1）掌握定積分的定義。

（2）會運用定積分的性質，特別是變限函數性質的應用。

（3）會計算定積分（N——L公式，換元積分與分部積分等）。

第八章定積分的應用

1、平面圖形面積的計算。

2、曲線的孤長。

3、體積的計算：旋轉體，截面面積已知。

4、旋轉曲面的側面積。

5、平均值。

下冊

第九章數項級數

1、數項級數的收斂性和基本性質。2、正項級數。

3、任意項級數。4、絕對收斂級數和條件收斂級數的性質。

基本要求：

（1）掌握收斂級數的基本性質和Cauchy收斂準則。

（2）掌握一般項級數收斂的以下的判斷法：收斂的充要條件，比較判斷法，比值判別法，根式判別法，積分判別法，掌握交錯級數收斂的判別法，任意級數轉化為正項級數的判別法，掌握狄利克萊，阿貝爾判別法。

（3）了解絕對收斂級數，條件收斂級數的性質。

第十章廣義積分

1、無窮限的廣義積分。

2、無界函數的廣義積分。

基本要求：

（1）廣義積分的計算。

（2）掌握廣義積分收斂的判別法。

第十一章函數項級數

1、函數項級數的收斂和一致收斂。

2、冪級數的收斂區間，和函數。

3、將函數展成冪級數。

基本要求：（1）掌握函數項級數的一致收斂性的概念，會判斷一致收斂，主要是M——判別法。

（2）掌握一致收斂的函數項級數的三個分析性質：逐項微分、逐項積分、函數的連續性。

（3）會求冪級數的收斂半徑，收斂區域。

（4）會求和函數以及將函數展成冪級數。

第十二章Fourier級數

1、函數展成Fourier級數。2、Fourier級數的收斂性。

基本要求：

（1）會求周期為2T的函數的Fourier級數。

（2）會將定義于[O、T]的函數展成正弦級數或余弦級數。

（3）掌握函數f（x）的Fourier級數的收斂性定理。

第十三章多元函數的極限與連續

1、平面點集。2、多元函數的極限。

3、多元函數的連續。

基本要求：

（1）熟悉距離，鄰域，聚點、內點、開集、閉集、區域的概念。

（2）了解平面點集連續性定理。

（3）掌握多元函數極限的概念（主要是二元函數的極限），熟悉重極限與累次極限的關系。

（4）熟悉多元函數連續的概念，掌握極限的運算法則，連續函數的局部性質。

（5）熟悉有界閉區域連續函數的性質。

第十四章偏導數和含微分

1、偏導數和全微分的概念。

2、復合函數求偏導數的法則。

3、隱函數的求導法則。

4、空間曲線的切線與法平面方程。

5、空間曲面的切平面與法線方程。

6、方向導數與梯度。

基本要求：

（1）會求偏導數。

（2）掌握隱函數（一個方程，兩個方程）的求導法則。

（3）會求空間曲線的切線法平面方程。空間曲面的切面與法線方程。

（4）會求方向導數和梯度。

第十五章極值

1、極值與最值的求法。

2、條件極值的求法（拉格朗日乘子法）。

第十六章隱函數存在定理

1、隱函數存在定理。2、函數行列式的性質。

基本要求：

（1）掌握隱函數（一個方程，多個方程）存在定理的條件與結論。

（2）熟悉函數行列式的性質。

第十七、十八章含參變量的積分

1、含參變量的定積分。

2、含參變量的無窮限積分。

3、含參變量的無界函數的積分。

基本要求：

（1）掌握含參量定積分的分析性質。

（2）掌握含參變量廣義積分的一致收斂性的概念，一致收斂性的判別法，主要是控制收斂定理即魏爾斯特拉斯判別法。

（3）掌握一致收斂積分的分析性質，連續性、積分號下求導，積分號下積分。

第十九章重積分，第一類曲線積分，第一類曲面積分的定義與性質

基本要求：

（1）掌握二重，三重積分，第一類曲線積分和曲面積分的定義。

（2）理解重積分的幾何意義，第一類曲線積分和曲面積分的物理意義。

（3）掌握以上三種積分的性質。

第二十章重積分的計算及應用

1、二重、三重積分化為累次積分法。

2、二重積分、三重積分的換元積分法。

基本要求：

（1）掌握二重積分轉化為累次積分的方法。

（2）掌握二重積分的極坐標變換，三重積分球面坐標變換的積分法。

（3）了解二重積分、三重積分的一般變換的積分方法。

第二十一章曲線積分與曲面積分的計算

1、第一類曲線積分，曲面積分的計算。

2、第二類曲線積分的定義與計算。

3、第二類曲面積分的定義與計算。

4、兩類曲線積分，兩類曲面積分之間的關系。

第二十二章各種積分之間的關系

1、格林公式。2、奧高公式。3、曲線積分與路徑的關系。

基本要示：

（1）掌握以上主要公式的應用。

（2）掌握曲線積分與路徑的關系的條件。

考試內容基本要求：

1、計算方面

（1）會求極限（2）會求導數，含偏導和高階導數，方向導數，梯度。（3）會求積分（含不定積分，定積分、廣義積分、重積分、曲線積分、曲面積分）（4）會求無窮級數的和與收斂區間，會將函數展成冪級數或Fourier級數。

2、證明方面

（1）用ε——N，ε—δ語言證明極限或函數的連續性。

（2）會運用連續函數性質（含閉區間上連續函數和極限性質如局部有界性，保號性或保序性等）以及函數極限與數列極限的關系，證明有關命題。

（3）會用微分中值定理和定積分性質證明有關命題。

（4）函數項級數，含參變量積分（廣義）的一致收斂性的證明，以及運用函數項級數，含參變量積分一致收斂的分析性質證明有關命題，熟練掌握冪級數“內閉一致收斂”性質。

（5）熟練掌握一致連續函數的應用。

（6）會應用極限存在的法則（單調有界原理，Cauchy收斂準則，夾逼法則，致密性定理等）

3、判斷方面

（1）會判斷數值級數和冪級數的收斂性。

（2）會判斷廣義積分的收斂性。

4、應用方面

（1）導數應用：函數的單調性，凸性、極值、不等式。

（2）積分（含重積分）的應用：面積，體積、弧長、曲面面積。