天津職業技術師范大學2015考研考試大綱：數學分析

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考試的基本要求:

要求考生比較系統地理解數學分析的基本概念和基本理論，掌握數學分析的基本思想和方法。要求考生具有空間想象能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

考試內容和考試要求:

一、極限理論

考試內容

數列極限和函數極限的概念和基本性質柯西準則 和語言 基本極限及極限的四則運算 迫斂性定理和單調有界原理 無窮小的性質和應用

考試要求

1．理解和掌握基本概念，如有界、上確界、下確界、收斂、發散、無窮小等，熟悉收斂數列和收斂函數的性質，知道極限在分析類數學中的奠基性作用。

2．熟悉發散數列極限的的各種存在形式，準確理解數列極限和函數極限存在時的幾何形狀，能夠理解和運用余數定理和重因式判定定理。

3．理解保號性引理，能夠運用艾森斯坦(Eisenstein)判別法判定整系數多項式在有理數域上的不可約性。

4．深刻掌握和語言。柯西準則

5．理解等價無窮小，并能熟練用于求函數極限

二、連續函數

考試內容

間斷點 連續函數的概念和基本性質 利用連續函數的性質求極限 一致連續 介值定理

考試要求

1. 理解函數在一點連續的概念，掌握各類間斷點。理解左極限、右極限與極限及間斷點的分類與判斷的關系。

2．理解連續函數的局部性質，掌握其幾何直觀和嚴密敘述轉換的技巧。

3. 理解一致連續定理，熟練掌握通過二次極限法證明函數一致連續的方法。

4．熟練使用介值定理和最值定理

三、導數和微分

考試內容

導數和微分地的定義 微分的幾何意義 微分的物理意義 高階導數 可微與連續的關系導數和微分的四則運算 初等函數導數的計算 復合函數的求導

考試要求

1. 理解在某一點左可導、又可導及可導的準確定義，理解可導的充要條件。

2. 理解微分為曲線的局部直線近似的幾何意義，掌握利用導數判斷函數圖像形狀的方法。

3. 理解可微函數連續的幾何解釋和掌握基于無窮小分析得證明。

4. 掌握導數和微分的四則運算和初等函數導數的計算。

5. 掌握復合函數的求導。

6. 掌握微分形式不變性。

四、微分中值定理及其應用

考試內容

三個中值定理 洛比達法則 泰勒公式 函數的幾何形狀（單調、極值、凹凸性）

考試要求

1. 利用羅爾中值定理和拉格朗日中值定理證明函數在某一點滿足一代數方程。

2. 熟練掌握洛比達法則，并清楚洛比達法則的適用范圍。

3. 熟練掌握兩類泰勒公式的計算和處理公式中的高階無窮小量。

4. 理解一、二階泰勒公式決定了函數曲線的基本性質，掌握用一階導數和二階導數判斷單調、極值和凹凸性。

五、實數的完備性

考試內容

單調有界原理 聚點定理 有限覆蓋定理 區間套定理 有界閉區間上連續函數

考試要求

1. 理解六大原理并掌握相互等價的證明。

2．掌握用有限覆蓋定理和區間套定理處理有界閉區間上的連續函數的性質。

六、一元積分學

考試內容

定積分的定義和幾何意義 不定積分和定積分的計算 微積分基本定理 變限積分 定積分思想的應用 計算各類積分 廣義積分

考試要求

1.理解并掌握定積分的思想：分割、近似求和、取極限，進而會利用定義解決問題，可積的必要條件及上和、下和的性質。

2.積分與微分的互逆關系，原函數與不定積分的關系及其幾何意義。

3.熟練運用基本積分表中的公式，換元法、分部積分法并能解決求積問題，特殊類型的初等函數的積分，如有理函數的積分、三角函數有理式的積分及某些無理函數的積分。

4.理解掌握微積分學基本定理，熟練應用牛頓－萊布尼茨公式，變動上限積分，會對變動上限積分求導。

5.理解反常積分的概念，掌握無窮積分與無界函數的反常積分的收斂判斷和計算方法

七、數項級數和函數項級數

考試內容

數項級數的收斂性與發散性 絕對收斂 條件收斂 函數項級數的收斂性與發散性 級數收斂與發散的判斷準則 一致收斂與交換極限

考試要求

1.掌握數項級數和函數項級數的收斂與發散性概念，掌握用極限理論分析級數。

2.理解數項級數收斂的必要條件，掌握萊布里茲尼法則判斷交錯級數的收斂性。

3.理解絕對收斂與條件收斂的區別，并掌握對絕對收斂級數的并、拆項操作。

4.掌握函數項級數的M-判別法、比值判別法和根值判別法。

5.掌握阿貝爾判別法和狄利克雷判別法。

6.掌握一致收斂的基本證明方法。

7.理解一致收斂在函數項級數繼承通項性質（連續、可微、可積）中的作用。

八、冪級數和傅立葉級數

考試內容

收斂半徑 阿貝爾定理 冪級數展開 傅立葉級數

考試要求

1.掌握求冪級數收斂半徑、收斂區間。

2.掌握求函數的冪級數展開的技巧。

3.掌握求冪級數的和函數的技巧以及用來求數項級數的和。

4.掌握傅立葉級數、正弦級數和余弦級數。

 九、多元函數微分學

考試內容

多元函數的極限 二元連續函數 偏導數、可微和高階偏導數泰勒公式 拉格朗日乘子法 隱函數定理

考試要求

1.掌握二元函數極限、偏導數、方向導數的求法以及檢驗極限不存在的方法。

2.理解偏導數和可微的幾何意義及其與函數連續偏導數連續之間的關系，并會求出曲面的法線和切平面。

3.掌握求較復雜函數的二階偏導數的方法，尤其是熟練掌握鏈法則。

4.理解二階泰勒公式并進而理解極值定理，掌握拉格朗日乘子法。

5.理解隱函數定理，并掌握計算隱函數或參數表示的函數的二階偏導數。

十、重積分

考試內容

重積分的定義及幾何意義 變量代換 極坐標、球面坐標和柱面坐標

考試要求

1.掌握重積分的定義幾何意義并利用對稱性化簡。

2.理解并掌握化重積分為累次積分的計算技巧。。

3.理解變量代換的幾何意義并掌握積累最重要的技巧。

4.熟練掌握利用極坐標、球面坐標和柱面坐標計算重積分。

十一、曲線積分和曲面積分

考試內容

第一、二型曲線積分 第一、二型曲面積分 格林公式 奧-高公式

考試要求

1.理解第一、二類曲線積分和曲面積分的幾何和物理意義。

2.理解并掌握格林公式，利用此公式熟練轉化曲線積分與重積分的計算，并且深刻理解積分與路徑無關與微分方程和場論的聯系。

3.掌握奧-高公式并能在空中曲線積分、曲面積分和三重積分之間熟練轉換。

4.了解場論中的格林公式的證明。

十二、含參變量積分

考試內容

含參變量積分的定義 含參變量積分與函數項級數的關系 廣義含參變量積分的一致收斂與交換極限

考試要求

1.掌握用函數項級數處理含參變量積分的方法。

2.理解廣義含參變量積分的一致收斂性，及積分號內外求極限（導數、積分）。

3.熟練掌握一致收斂的證明方法，尤其是二次極限的方法。

主要參考書目:

《數學分析》，華東師范大學數學系 編， 2004年12月第3版，高等教育出版社出版