天津職業技術師范大學2015考研考試大綱：高等代數

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考試的基本要求:

要求考生比較系統地理解高等代數的基本概念和基本理論，掌握高等代數的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

考試內容和考試要求:

一、多項式理論

考試內容

多項式的相關概念和基本性質 一元多項式的帶余除法 最大公因式的性質 多項式唯一分解定理 多元多項式的概念和對稱多項式的基本性質

考試要求

1．理解和掌握基本概念，如整除、不可約性、互素、重因式、對稱多項式等，熟悉一元多項式最大公因式的性質，知道多項式在復數域、實數域及有理數域上分解的特殊性。

2．熟悉(Euclid)帶余除法，準確理解多項式唯一分解定理，能夠理解和運用余數定理和重因式判定定理。

3．理解高斯(Gauss)引理，能夠運用艾森斯坦(Eisenstein)判別法判定整系數多項式在有理數域上的不可約性。

4．理解代數基本定理。

二、行列式

考試內容

行列式的概念和基本性質 行列式計算 行列式按行（列）展開定理 拉普拉斯(Laplace)定理及行列式的乘法法則

考試要求

1. 理解行列式的概念，掌握行列式的性質、拉普拉斯(Laplace)定理及行列式的乘法法則。

2. 會應用行列式概念和基本性質計算行列式，能夠熟練掌握行列式按行（列）展開定理，能夠運用遞推公式計算一些經典類型的行列式。

三、向量和矩陣

考試內容

向量的線性組合和線性表示 向量組的等價 向量組的線性相關與線性無關 向量組的極大線性無關組 向量組的秩 向量組的秩與矩陣的秩之間的關系

矩陣的概念 矩陣的基本運算 矩陣的轉置 伴隨矩陣 逆矩陣的概念和性質 矩陣可逆的充分必要條件 矩陣的初等變換和初等矩陣 矩陣的秩 矩陣的等價 分塊矩陣及其運算

考試要求

1. 理解n維向量、向量的線性組合與線性表示等概念。

2. 理解向量組線性相關、線性無關的定義、熟練掌握判斷向量組線性相關、線性無關的方法。

3. 理解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩。

4. 理解向量組等價的概念、清楚向量組的秩與矩陣秩的關系。

5. 理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣，熟悉它們的基本性質。

6. 掌握矩陣的數乘、加法、乘法、轉置等運算。了解方陣的多項式概念。

7. 理解逆矩陣的概念，掌握可逆矩陣的性質，以及矩陣可逆的判別條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。

8. 掌握矩陣的初等變換、初等矩陣的性質和矩陣等價的條件，理解矩陣的秩的概念，了解矩陣的秩與行列式的關系。了解矩陣乘積的秩與因子矩陣的秩的關系，了解 n階方陣非退化的概念及充分必要條件，熟練掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。

9. 熟悉分塊矩陣及其運算。

四、線性方程組

考試內容

線性方程組的克萊姆（Cramer）法則 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件 非齊次線性方程組有解的充分必要條件 線性方程組解的性質和解的結構 齊次線性方程組的基礎解系和通解 解空間及其維數 非齊次線性方程組的通解

考試要求

1. 會用克萊姆法則求解線性方程組。

2. 掌握齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。

3. 熟練掌握齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法。

4. 理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念。

5. 掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。

五、二次型

考試內容

二次型及其矩陣表示 非退化線性替換與矩陣合同 二次型的秩 慣性定理 二次型的標準形和規范形 二次型及實對稱矩陣的正定性

考試要求

1. 掌握二次型及其矩陣表示，理解非退化線性替換與矩陣合同的概念及性質，清楚二次型的非退化線性替換與二次型矩陣合同的關系。

2. 熟練掌握二次型的標準形、秩、規范形的概念以及慣性定理，理解復對稱矩陣合同的充分必要條件。

3.會用配方法化二次型為標準形。

4. 掌握二次型及實對稱矩陣正定的概念及性質，掌握二次型及實對稱矩陣正定的判別法。

六、線性空間

考試內容

集合與映射的基本概念 線性空間的概念與基本性質 線性空間的維數、基與向量的坐標 線性空間中的基變換與坐標變換 過渡矩陣 線性子空間及其運算 線性空間的同構
 
考試要求

1.熟悉集合與映射的概念。

2.理解線性空間的概念 掌握線性子空間的判定方法。

3.掌握線性空間的維數、基和坐標等基本概念和性質。

4.掌握線性空間的基變換公式和坐標變換與過渡矩陣的關系。

5.理解生成子空間的概念，掌握求子空間基和維數的方法。

6.掌握子空間的交、和、直積運算及其性質。

7.了解線性空間同構的概念，了解同構映射的性質。

七、線性變換，矩陣的特征值和特征向量

考試內容

線性變換的概念和簡單性質 線性變換的運算 線性變換的矩陣 線性變換（矩陣）的特征值、特征向量和特征子空間 線性變換的特征多項式及Hamilton-Caylay定理矩陣相似的概念及性質 矩陣可對角化的充分必要條件 線性變換的值域與核 線性變換的不變子空間 矩陣的若當(Jordan)標準型

考試要求

1.掌握線性變換的概念、基本性質及運算。

2.理解線性變換的矩陣，了解線性變換與矩陣的對應關系。

3.掌握線性變換及其矩陣的特征值、特征向量、特征多項式的概念及性質，能夠熟練地求解線性變換及矩陣的特征值和特征向量。

4.了解關于特征多項式的Hamilton-Caylay定理，了解矩陣的跡。

5.把握線性變換的特征子空間、線性變換的不變子空間的概念。

6.掌握矩陣相似的概念、性質及矩陣可對角化的充分必要條件。熟悉將矩陣化為對角矩陣的方法。

7.理解線性變換的值域、核、秩、零度的概念。

8.了解矩陣的若當(Jordan)標準型。

八、歐幾里德空間

考試內容

線性空間內積的定義及其性質 歐幾里德空間的概念 標準（規范）正交基 施密特(Schmidt)正交化過程 正交矩陣 正交變換及其性質 正交子空間、正交補及其性質 實對稱矩陣的特征值、特征向量及相似對角矩陣、歐幾里德空間的同構

考試要求

1.掌握線性空間內積、向量的正交、歐幾里德空間等基本概念及性質。

2.理解正交變換和正交矩陣的關系，歐幾里德空間中過渡矩陣的特殊性。

3.理解和掌握標準（規范）正交基的概念，掌握標準（規范）正交基的求法（施密特正交化過程），了解標準正交基下度量矩陣、向量坐標及內積的特殊表達。

4.掌握正交矩陣的概念及性質，了解正交矩陣與標準正交基的過渡矩陣之間的關系。

5.理解和掌握正交變換的概念及其性質，了解正交變換和正交矩陣之間的關系。

6.理解正交子空間、正交補的概念及性質。

7.熟練掌握對稱矩陣的特征值和特征向量的特殊性質，對給定的實對稱矩陣A會求正交矩陣T使T´AT成為對角矩陣。

8.了解歐幾里德空間同構的概念和性質，了解有限維歐幾里德空間同構的充分必要條件。
 
主要參考書目:

《高等代數》，北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組編， 2003年7月第3版，高等教育出版社出版