2024年考研榆林學院880數學分析與高等代數科目考試大綱

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榆林學院數學與統計學院2024年研究生招生考試預告已發布，內容如下

自命題考試科目

學科教學（數學）專業考試科目名稱及代碼：數學分析與高等代數880

數學分析與高等代數科目考試大綱

（1）科目及代碼：數學分析與高等代數(科目代碼：880)

（2）主要參考書目：

[1]華東師范大學數學系主編.《數學分析》（第五版上冊），高等教育出版社，2019.

[2]北京大學數學系前代數小組編.高等代數（第五版），高等教育出版社，2019.

（3）本考試大綱適用于報考學科教學(數學）碩士研究生的入學考試。

（4）考試方式與試卷結構

考試方式：閉卷筆試。

本科目滿分150分，每門課程約占75分，考試時間180分鐘。

試題題型：計算題（約60分）、證明題（約60分）、解答題（約30分）。

（5）考試內容及基本要求

（一）數學分析部分：數列極限、函數極限、函數連續性、導數與微分、微分中值定理、不定積分、定積分、定積分的應用、反常積分。

1.函數的極限與連續

1）理解數列和函數極限的定義、性質，會求數列和函數的極限；

2）理解連續的定義，會判別間斷點類型，理解閉區間上連續函數的性質；

3）理解初等函數在其定義區間上的連續性，掌握利用連續性求極限的方法。

2.導數

1）理解導數的定義與幾何意義、可導與連續的關系；

2）會求函數的導數：復合函數求導、隱函數求導、參數方程所確定的函數的導數、對數求導法、分段函數的導數、高階導數；

3）理解微分的定義、微分與導數的關系，會用定義判別可微性，會求一元函數的微分。

3.微分

1）理解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，并會用它們證明根的存在性和簡單不等式；

2）會用洛必達法則求極限；

3）理解函數極值的概念，會求函數極值和最值；

4）理解函數的泰勒公式，掌握常見基本初等函數的泰勒公式；

5）會判別曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。

4.不定積分

1）理解原函數和不定積分的概念、不定積分的性質、原函數存在性定理；

2）掌握不定積分基本公式、換元積分法、分部積分法，會求不定積分。

5.定積分

1）理解定積分的定義、性質和幾何意義，了解可積的必要和充分條件；

2）掌握變上限積分的求導、牛頓萊布尼茨公式、定積分的換元和分部積分法，會求定積分；

3）掌握定積分在幾何中的應用，會求平面圖形的面積、旋轉體的體積、曲線的弧長等。

6.反常積分

1）理解廣義積分的概念、性質和幾何意義；

2）會判別廣義積分收斂性。

（二）高等代數部分：多項式、行列式和線性方程組、矩陣及其標準形、二次型、特征值和特征向量、線性變換、歐氏空間。

1.多項式

1）理解并掌握一元多項式的概念和性質，掌握整除的概念和性質，掌握帶余除法理論，會用輾轉相除法求兩個多項式的最大公因式，會證明有關互素的一些命題；

2）掌握因式分解定理，會判斷多項式有無重因式，掌握余數定理，會判斷多項式有無重根，掌握復系數、實數多項式及有理系數多項式的因式分解理論；

3）理解并掌握根與系數關系，掌握關于有理系數多項式的理論，會求有理系數多項式的有理根，會判斷多項式在有理數域上是否可約。

2.行列式

1）掌握行列式的定義和基本性質，會計算高階規律性強的行列式，掌握范德蒙德（Vandermonde）行列式，并且能運用行列式理論解決相關問題；

2）掌握行列式的按行（按列）展開定理，會應用克拉默（Cramer）法則解決線性方程組的相關問題。

3.矩陣

1）理解矩陣的基本概念及其性質，掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置，以及這些運算的規律；

2）掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充要條件，掌握伴隨矩陣的概念與性質，理解矩陣的初等變換及矩陣等價的概念，會求矩陣的秩及逆矩陣；

3）理解分塊矩陣，掌握分塊矩陣的運算及初等變換。

4.線性方程組求解

1）理解向量線性相關、向量組等價、極大無關組、向量組的秩、矩陣的秩、基礎解系、解空間等概念,會證明有關線性相關或線性無關的命題；

2）掌握線性方程組解的理論，會求解線性方程組。

5.二次型

1）掌握二次型的概念及二次型的矩陣表示、二次型秩的概念、二次型的標準形、規范形及慣性定律，會用合同變換、正交變換化二次型為標準形；

2） 掌握二次型和對應矩陣的正定、半正定、負定、半負定及其判別法，會判斷二次型和對應矩陣的正定性。

6.線性空間

1）理解線性空間、子空間、生成子空間、基、維數、坐標、過渡矩陣、子空間的直和、線性空間同構等概念，會證明有關子空間的直和的命題；

2）掌握基擴張定理、維數公式，會求基、維數、坐標及過渡矩陣。

7.線性變換

1）理解線性變換、特征多項式、特征子空間、不變子空間、相似變換、相似矩陣等概念；

2）掌握線性變換的性質，特征值、特征向量的性質，核空間與值域的性質，會求給定矩陣的特征值、特征向量；

3）掌握線性變換與矩陣“互化”的思想方法。

8.歐氏空間

1）掌握內積、歐氏空間、向量長度、夾角、距離、度量矩陣、標準正交基、正交變換、正交矩陣等概念；

2）掌握標準正交基的性質、正交變換的性質，會用施密特（Schmidt）正交化方法化線性無關向量組為標準正交向量組；

3）掌握實對稱矩陣的特征值、特征向量的性質，會用正交相似變換將實對稱矩陣相似（合同）對角化

二、考生的學術要求

1.學科教學（數學）接受計算機、物理、統計學、機械、電氣工程、能源等理工類專業的考生跨專業報考。跨專業考生在復試階段加試（初等數學研究、數學教學論）兩門主干課程。

2.以本科畢業同等學力身份報考的考生，須符合以下條件：①復試時必須提交畢業證書原件和在學術刊物上公開發表的相當于大學本科畢業論文水平的文章（不限學科專業）。②進修（或就讀）學校教務部門開具的進修（或就讀）本科課程合格成績單（6門或6門以上）。③同等學力考生在復試時須加試兩門大學本科主干課程。④同等學力人員僅限報考所學專業，不得跨學科報考。⑤同等學力考生在我校進行現場報名時須提交能證明本人具有報考資格的材料原件。