2023年北京郵電大學601數學分析考研大綱

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601數學分析

一、考試目的

要求考生比較系統地理解和掌握數學分析的基本概念、基本理論和基本方法。同時，考察考生的邏輯推理能力、計算能力和運用所學知識分析問題和解決問題的能力。

二、考試內容

1、實數集與函數

實數的概念，實數的性質，絕對值與不等式，區間與鄰域，有界集與無界集，上確界與下確界，確界原理;函數的定義，函數的表示法，分段函數，有界函數，單調函數，奇函數與偶函數，周期函數。

2、數列極限

極限概念，收斂數列的性質(唯一性，有界性，保號性，單調性)，數列極限存在的條件(單調有界準則，迫斂性法則，柯西準則)。

3、函數極限

函數極限的概念，單側極限的概念，函數極限的性質(唯一性，局部有界性，局部保號性，不等式性，迫斂性)，函數極限存在的條件(歸結原則(Heine定理)，柯西準則)，兩個重要極限，無窮小量與無窮大量，階的比較。

4、函數連續

一點連續的定義，區間連續的定義，單側連續的定義，間斷點及其分類，連續函數的局部性質及運算，閉區間上連續函數的性質(最大最小值性、有界性、介值性、一致連續性)，復合函數的連續性，反函數的連續性，初等函數的連續性。

5、導數與微分

導數的定義，單側導數，導函數，導數的幾何意義，導數公式，導數的運算(四則運算)，求導法則(反函數的求導法則，復合函數的求導法則，隱函數的求導法則，參數方程的求導法則)，微分的定義，微分的運算法則，微分的應用，高階導數與高階微分。

6、微分學基本定理

羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則，泰勒公式。

7、導數的應用

函數的單調性與極值，函數凹凸性與拐點。

8、實數完備性定理及應用

閉區間套定理，單調有界定理，柯西收斂準則，確界存在定理，聚點定理，有限覆蓋定理，有界性定理的證明，最大小值性定理的證明，介值性定理的證明，一致連續性定理的證明。

9、不定積分

不定積分概念，換元積分法與分部積分法，幾類可化為有理函數的積分。

10、定積分

黎曼積分定義，函數可積的必要條件，可積性條件，達布上和與達布下和，可積函數類，可變上限積分，牛頓-萊布尼茲公式，無窮積分收斂與發散的概念，審斂法(柯西準則，比較法，狄利克雷與阿貝爾判別法)，瑕積分的收斂與發散的概念，收斂判別法。

11、定積分的應用

平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數的立體體積，旋轉體的體積平面曲線的弧長與微分，曲率，功，液體壓力，引力。

12、數項級數

無窮級數收斂，發散等概念，柯西準則，收斂級數的基本性質，比較原理，達朗貝爾判別法，柯西判別法，積分判別法，交錯級數與萊布尼茲判別法，絕對收斂級數與條件收斂級數及其性質，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

13、函數項級數

一致收斂性及一致收斂判別法(柯西準則，優級數判別法，狄利克雷與阿貝爾判別法)，一致收斂的函數列與函數項級數的性質(連續性，可積性，可微性)。

14、冪級數

阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區間，冪級數的一致收斂性，冪級數和函數的分析性質，幾種常見初等函數的冪級數展開與泰勒定理。

15、傅里葉級數

三角函數與正交函數系, 付里葉級數與傅里葉系數, 以2p為周期函數的付里葉級數, 收斂定理，以2L為周期的付里葉級數，收斂定理的證明。

16、多元函數極限與連續

平面點集與多元函數的概念，二元函數的極限、累次極限，二元函數的連續性概念，連續函數的局部性質及初等函數連續性。

17、多元函數的微分學

偏導數的概念，偏導數的幾何意義，偏導數與連續性，連續性與可微性，偏導數與可微性，多元復合函數微分法及求導公式，方向導數與梯度，泰勒定理與極值。

18、隱函數定理及其應用

隱函數的概念，隱函數的定理，隱函數求導舉例，隱函數組存在定理，反函數組與坐標變換，雅可比行列式，平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線，條件極值的概念，條件極值的必要條件。

19、重積分

二重積分的概念，可積條件，可積函數，二重積分的性質，二重積分的計算：化二重積分為累次積分，換元法(極坐標變換，一般變換)，含參變量的積分，化三重積分為累次積分, 換元法(一般變換，柱面坐標變換，球坐標變換)，立體體積，曲面的面積，物體的重心，轉動慣量，含參變量非正常積分及其一致收斂性概念，一致收斂的判別法(柯西準則，與函數項級數一致收斂性的關系，一致收斂的M判別法)，含參變量非正常積分的分析性質，歐拉積分：伽馬函數及其性質,貝塔函數及其性質。

20、曲線積分與曲面積分

第一型曲面積分的的概念、性質與計算，第二型曲線積分的概念、性質與計算，兩類曲線積分的聯系，格林公式，曲線積分與路線的無關性, 全函數，曲面的側，第二型曲面積分概念及性質與計算，兩類曲面積分的關系，高斯公式，斯托克斯公式，空間曲線積分與路徑無關性，場的概念，梯度，散度和旋度。

三、試卷結構

考試題型：計算題、證明題