2022年海南師范大學(xué)（復(fù)試）常微分方程考研大綱及參考書目

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海南師范大學(xué)全國(guó)碩士研究生招生自命題考試大綱

考試科目代碼：[]              考試科目名稱：常微分方程

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一、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

（一）試卷成績(jī)及考試時(shí)間

本試卷滿分為100分，考試時(shí)間為120分鐘。

（二）答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

（三）試卷結(jié)構(gòu)

填空題；簡(jiǎn)答題；解答與證明題等

二、考試目標(biāo)：

1.掌握常微分方程的基本概念和求解微分方程的基本方法。

2.理解常微分方程的基本理論和基礎(chǔ)知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等前置課程的基本概念、方法和結(jié)果的能力。

3.運(yùn)用常微分方程的基本理論和方法來(lái)分析解決微分方程問題，以常微分方程為基礎(chǔ)建立數(shù)學(xué)模型。

三、考試范圍：

（一）緒論

1.常微分方程模型

會(huì)構(gòu)建常微分方程模型。

2.基本概念和常微分方程的發(fā)展歷史

掌握常微分方程基本概念。

（二）一階微分方程的初等解法

1.變量分離方程與變量變換

掌握求解變量分離方程的方法；掌握用變量變換化為變量分離型方程的方法。

2.線性微分方程與常數(shù)變易法

會(huì)應(yīng)用常數(shù)變易法求解線性微分方程。

3.恰當(dāng)微分方程與積分因子

會(huì)求解恰當(dāng)微分方程；掌握一元函數(shù)積分因子的求解與應(yīng)用。

4.一階隱式微分方程與參數(shù)表示

會(huì)求解一階隱式微分方程；會(huì)選擇合適的參數(shù)表示求解方程。

（三）一階微分方程的解的存在定理

1.解的存在唯一性定理與逐步逼近法

理解解的存在唯一性定理；掌握Picard逐步逼近法。

2.解的延拓

理解解的延拓定理。

3.解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理

理解解對(duì)初值的連續(xù)依賴性與可微性定理。

（四）高階微分方程

1.線性微分方程的一般理論

理解線性微分方程的有關(guān)概念；了解解的存在唯一性定理及通解結(jié)構(gòu)定理；會(huì)應(yīng)用常數(shù)變易法求解二階非齊次線性微分方程。

2.常系數(shù)線性微分方程的解法

掌握常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；會(huì)應(yīng)用比較系數(shù)法求解非齊次線性微分方程。

3.高階微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法

會(huì)用合適的變量替換將某些高階方程降階。

（五）線性微分方程組

1.存在唯一性定理

會(huì)使用矩陣表示線性微分方程組；會(huì)將高階線性方程化為與之等價(jià)的一階線性方程組；理解存在唯一性定理。

2.線性微分方程組的一般理論

掌握線性微分方程組解的一些代數(shù)結(jié)構(gòu)；會(huì)應(yīng)用基解矩陣求出線性微分方程組的通解與特解。

3.常系數(shù)線性微分方程組

會(huì)求解二階方陣的特征值與特征向量；會(huì)表示特征向量互不相同的基解矩陣。

（六）非線性微分方程

1.穩(wěn)定性

掌握零解穩(wěn)定，不穩(wěn)定，漸近穩(wěn)定等概念；會(huì)求駐定解并判斷駐定解的穩(wěn)定性態(tài)；會(huì)判定相關(guān)方程零解的穩(wěn)定性。

2.V函數(shù)方法

了解李雅普諾夫定理。

四、主要參考書目

1.王高雄等編：《常微分方程》，第三、四版，高等教育出版社，2008年。

原文鏈接 http://yjsc.hainnu.edu.cn/html/2022/gongzuoxinxi_0708/9348.html