2020年海南醫學院613數學分析與線性代數考研大綱及參考書目

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Ⅰ.考查目標

數學分析與線性代數是生物信息學及相關專業的一門基礎課程。該課程主要由數學分析和線性代數兩部分組成，通過對數學分析的學習，使學生系統地獲得函數、極限、連續、微積分等方面的基本概念、基本理論和基本運算技能，通過對線性代數的學習，使學生全面的理解和掌握線性相關、線性方程組、矩陣特征值和特征向量等方面的基礎知識、基本理論和基本計算方法，為學習后繼課程和進一步獲得數學知識奠定必要的數學基礎。在傳授知識的同時，要通過各個教學環節逐步培養學生具有抽象概括問題的能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學能力，還要特別注意培養學生具有比較熟練的運算能力和綜合運用所學知識去分析問題和解決問題的能力。

Ⅱ.參考書

《醫用高等數學》第2版 李霞，彭繼世主編 北京大學醫學出版社，2018年

《醫用高等數學》第一版.李霞、賀東奇、姜偉主編.北京大學醫學出版社.2013年12月

《醫用高等數學》第一版.郭政、韓桂秋、王慕潔主編.黑龍江科學技術出版社.2000年8月

《線性代數及其應用》第三版.(美)萊(Lay，D.C.)著;劉深泉等譯 機械工業出版社，2005年

《高等數學》第二版.李忠、周建瑩主編.北京大學出版社.2014年5月

《數學分析》第四版.華東師范大學數學系主編.高等教育出版社.2012年5月

Ⅲ.考試形式和試卷結構

答卷方式：閉卷，筆試，所列題目全部為必答題

答題時間：180分鐘

卷面滿分：150分

考試題型：名詞解釋、選擇題、填空題、問答題、計算題

Ⅳ.考查內容

(一)函數、極限與連續

【基本內容】

(一)實數：有理數與無理數、實數集合的基本性質、區間、絕對值不等式。

(二)函數：變量、函數的概念、性質、初等函數、分段函數、連續函數的局部性質及初等函數的連續性、幾種具有某些特性的函數。

(三)數列極限：數列的定義、數列極限的定義、無窮小量、無窮大量，極限的四則運算、收劍數列的性質、極限存在準則、各種趨勢函數極限的定義。

(四)函數極限的性質：性質的理解、函數極限的性質、自變量趨向有限值時函數的極限、自變量趨向無限值時函數的極限、單側極限、函數極限的運算、連續函數、閉區間上連續函數的性質、最值定理、介值定理。

【基本要求】

1. 掌握實數的概念，區間和絕對值不等式，熟悉無理數和實數集合的基本性質。

2. 掌握函數的概念、表示方法和性質，熟悉函數的幾何意義和幾種具有某些特性的函數。

3. 掌握數列極限的定義，會用定義證明數列的極限，熟練利用收劍數列的性質及極限存在準則求數列的極限。各種趨勢函數極限的定義，會用定義證明函數的極限。無窮小量、無窮大量及其階的概念。

4. 掌握函數極限的性質：性質的理解、用函數極限的性質、兩個重要極限求函數極限，利用極限存在準則判定函數極限存在或不存在;會利用直接法和輔助函數法求解極限。

(二)微積分的基本概念

【基本內容】

(一)導數：定義、幾何意義、由定義求導數、可導性和連續性的關系。

(二)導數的運算：函數四則運算的求導法則、復合函數的求導法則、反函數的求導法則、初等函數的導數、隱函數的求導法則、對數求導法、高階導數。

(三)微分：定義、幾何意義、基本初等函數的微分公式與微分運算法則階微分形式不變性、微分在近似計算中的應用。

(四)不定積分：原函數定義、不定積分定義、不定積分幾何意義、不定積分的性質、不定積分的基本公式。

(五)定積分：定積分的定義、定積分的性質。

(六)微積分學基本定理：積分上限函數及其導數、牛頓-萊布尼茲公式

【基本要求】

1. 掌握導數的概念，理解導數的物理意義與幾何意義，熟練使用定義分辨函數是否可導，并理解可導函數與連續函數的關系。

2. 掌握導數的運算規則，熟記函數四則運算求導法則與初等函數的導數，理解復合函數、對數求導法、隱函數等求導法則，熟練的使用導數的運算法則計算導函數，并會計算函數的高階導數。

3. 掌握微分的定義、幾何意義，了解高階無窮小的定義，認識微分的實質，理解可導與可微的關聯與區別。掌握微分的運算規則，熟練使用基本初等函數的微分公式與微分運算法則計算微分，并理解微分形式不變性，會使用微分解決近似計算中的問題。

4. 掌握原函數、不定積分的定義，熟記并會運用不定積分的性質和基本公式解決不定積分問題。

5. 掌握定積分的概念，了解函數可積的充分條件，理解定積分的幾何意義，熟悉定積分的性質。

6. 掌握積分上限函數，通過積分上限函數的導數理解定積分與原函數之間的聯系，熟悉并學會使用牛頓-萊布尼茲公式解決定積分問題。

(三)積分的計算及應用

【基本內容】

(一)不定積分的計算：換元法、分部積分法、有理式的不定積分。

(二)定積分的計算：換元法、分部積分法。

(三)積分的應用：定積分的元素法、平面圖形的面積、旋轉體的體積、平面曲線的弧長。

【基本要求】

1. 掌握并會利用第一類、第二類換元法，分部積分法解決不定積分問題，熟悉有理函數和三角函數有理式的積分計算方法。

2. 掌握并會利用換元法、分部積分法解決定積分問題。

3. 能熟練使用積分解決應用問題，熟悉定積分的元素法，會利用定積分計算平面圖形的面積、旋轉體的體積和平面曲線的弧長。

(四)微分中值定理與泰勒公式

【基本內容】

(一)微分中值定理：羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理

(二)柯西中值定理與洛必達法則：柯西(Cauchy)中值定理、洛必達法則(L’Hospital)、 型未定式、 型未定式、其它未定式。

 

(三)極值問題：定義、費馬定理、充分性條件、求函數極值的步驟、函數的最值。

(四)函數的凸凹性與函數作圖：函數的單調性、凸凹性、凹凸性的判別法則、拐點、漸近線的定義、函數作圖的步驟。

【基本要求】

1. 掌握羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，會用導數判別函數的單調性。

2. 了解柯西中值定理，掌握用洛必達法則求各種不定式極限。

3. 掌握函數極值的概念，了解費馬引理，掌握函數取到極值的必要條件和充分條件，會求函數的極值，會求函數的最大值和最小值，并會解決實際問題的最值。

4. 掌握凹凸性的定義，會用導數判斷函數圖形的凹凸性，熟練掌握函數單調性的判別方法，會求函數圖形的拐點和漸近線，掌握函數作圖的步驟。

(五)向量代數與空間解析幾何

【基本內容】

(一)向量代數：定義、幾何表示、模、單位向量、零向量、反向量、向量的加減、數乘、內積、叉乘、混合積

(二)向量的空間坐標：空間直角坐標系、坐標面與卦限、空間點的直角坐標、空間兩點間的距離、空間向量的坐標、向量運算的坐標表示。

(三)空間中平面與直線的方程：平面的方程、點到平面的距離、兩平面的相關位置、空間直線的方程、直線與平面的相關位置、直線與平面的交點、空間兩直線的相關位置

(四)二次曲面：橢圓曲面、橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面、橢圓柱面、雙曲柱面、橢圓拋物面、雙曲拋物面、拋物柱面。

(五)空間曲線的切線與弧長：空間曲線的一般方程、空間曲線的參數方程、空間曲線的切線與法平面、空間曲線的弧長

【基本要求】

1. 要求理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示，向量模的運算，會求單位向量、掌握零向量和反向量，并且要求掌握向量的運算(線性運算、數量積、向量積、混合積)。

2. 理解空間直角坐標系的概念，理解坐標面于卦限，掌握兩點間距離公式，對空間兩點間的距離進行運算，并且會使用向量運算的坐標表示。

3.掌握平面的方程與直線的方程，會用簡單的條件求平面與直線的方程，理解平面與平面、直線與直線、平面與直線的關系，會求點到平面的距離。

4. 了解常用二次曲面的方程及圖形，會求簡單的柱面和旋轉曲面的方程。

5. 了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。

(六)多元函數微分學

【基本內容】

(一)多元函數：平面點集、邊界點、二元函數、n元函數

(二)多元函數的極限：概念、二元函數的極限運算法則、基本性質

(三)多元函數的連續性：定義、四則運算保持函數連續性、復合函數的連續性、多元初等函數、有界閉區域上連續函數的性質

(四)偏導數：定義、計算法、偏導數的幾何意義、高階偏導數

(五)全微分：定義、性質、可微與連續、可微與偏導數之間的關系、數值計算中的應用

(六)多元函數微分學：復合函數微分法與隱函數微分法、復合函數求導的連鎖法則、復合函數的全微分、隱函數微分法

(七)方向導數與梯度：方向導數的定義、計算、與偏導數的關系、梯度計算的運算法則

(八)多元函數微分學：極值問題、多元函數的極值、計算步驟、條件極值和Lagrange乘數法

【基本要求】

1. 理解空間直角坐標系、平面點集、邊界點的定義，掌握二元函數、n元函數的概念及其對應的空間圖像，熟悉幾種常見的曲面及其方程。

2. 掌握多元函數極限的定義及其基本性質，會利用極限存在準則判定二元函數極限存在或不存在，并會熟練利用二元函數的極限運算法則計算二元函數的極限。

3. 掌握多元函數的連續性的概念，理解斷點的定義，熟悉四則運算保持函數連續性、復合函數的連續性、多元初等函數、有界閉區域上連續函數的性質，會利用定義判定多元函數極限存在或不存在。

4. 掌握偏導數的定義，并會計算多元函數的一階偏導數以及高階偏導數，理解偏導數的幾何意義。

5. 掌握全微分的定義和性質，了解二元函數可微與連續的條件，熟悉可微與偏導數之間的關系及全微分在數值計算中的應用。

6. 熟悉多元復合函數的常見形式，會使用連鎖法則對復合函數求導;會使用隱函數微分法對隱函數求導。會計算復合函數的全微分。

7. 掌握方向導數、梯度的定義，熟悉方向導數的計算公式和梯度計算的運算法則并能運用于計算，理解方向導數與偏導數的關系。

8. 會利用極限存在準則判定多元函數極限存在或不存在，掌握多元函數的極限計算步驟，能熟練計算多元函數的極限以及條件極值;掌握拉格朗日乘數法，并能運用于條件極值的計算。

(七)重積分

【基本內容】

(一)二重積分：概念、性質、幾何意義

(二)二重積分的計算：直角坐標系下計算二重積分、二重積分化累次積分定理、利用二重積分計算空間立體體積、極坐標系下計算二重積分

(三)三重積分：定義、性質、幾何意義和計算

【基本要求】

1. 理解二重積分的概念，了解二重積分的幾何意義和性質。

2. 掌握二重積分在直角坐標系及極坐標系下的計算方法。

3. 理解三重積分的概念，了解三重積分的幾何意義和性質，并且掌握三重積分再直角坐標系及極坐標系下的計算方法。

(八)曲線積分與曲面積分

【基本內容】

(一)曲線積分：概念、性質、第一、二型曲線積分的計算

(二)曲面積分：概念、性質、第一、二型曲面積分的計算

(三)Green公式：應用、曲線積分與路徑無關的定義

【基本要求】

1. 掌握兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系，掌握兩類曲線積分的計算方法。

2. 掌握兩類曲面積分的概念、性質，以及兩類曲面積分的計算方法。

曲線積分與曲面積分

3.掌握Green公式, 了解二重積分與曲線積分的關系，運用Green公式于計算平面面積，會運用平面曲線積分與路徑無關的條件。

(九)常微分方程

【基本內容】

(一)常微分方程：概念、微分方程的階、解、通解、特解

(二)可分離變量的微分方程：特殊的一階微分方程、可分離變量的微分方程、齊次微分方程

(三)一階線性微分方程：線性齊次微分方程、線性非齊次微分方程、柏努利方程

(四)可降階的微分方程：類型、解法

【基本要求】

1. 掌握常微分方程的基本概念，了解微分方程的階、解、解的分類。

2. 掌握特殊的一階微分方程、可分離變量的微分方程、齊次微分方程通解及特解的計算方法。

3. 掌握線性齊次微分方程、線性非齊次微分方程的解法，了解努利方程通過變量替換化為線性方程的方法。

4. 掌握各類型可降階的微分方程的解法。

(十)無窮級數

【基本內容】

(一)常數項級數：常數項級數的收斂于發散的概念，收斂級數和的概念，級數的基本性質與收斂的必要條件。

(二)正項級數收斂性的判別法與萊布尼茨定理任意項級數的絕對收斂與條件收斂。

(三)函數項級數的收斂域與和函數的概念。

(四)冪級數及其收斂半徑、收斂區間(指開區間)和收斂域，冪級數的和函數，冪級數在其收斂區間內的基本性質，簡單冪級數的和函數的求法。

【基本要求】

1. 掌握級數的收斂與發散、收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及級數收斂的必要條件

2. 掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念 ，絕對收斂與收斂的關系，了解交錯級數的萊布尼茨判別法。

3. 了解函數項級數的收斂域及和函數的概念。

4. 理解冪級數收斂半徑的概念，并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法，了解冪級數在其收斂區間內的基本性質(和函數的連續性、逐項求導和逐項積分)，會求一些冪級數在收斂區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和。

(十一)線性代數中的線性方程組

【基本內容】

(一)行化簡：行初等變換與行階梯型變換。

(二)線性方程組：線性方程組的概念，高斯消元法求解線性方程組。

(三)齊次線性方程組有非零解和非齊次線性方程組有解的充分必要條件，解的求法

(四)線性無關：線性相關、線性無關的概念，線性相關、線性無關的有關性質及判別法;

【基本要求】

1. 了解行初等變換及行階梯型變換的概念，熟練掌握用行初等變換及行階梯型變換矩陣的方法。

2. 理解線性方程組的概念，熟練使用高斯消元法求解線性方程組。

3. 理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件，理解齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法，理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念。

4. 理解線性相關、線性無關的概念，掌握線性相關、線性無關的有關性質及判別法。

(十二)矩陣代數

【基本內容】

(一)矩陣：基本概念、基本矩陣運算

(二)逆矩陣：定義、特征、求法、基本行(列)運算、初等矩陣、伴隨矩陣

(三)矩陣初等變換：概念、初等矩陣、矩陣等價、矩陣的秩

(四)特殊矩陣：概念，性質

【基本要求】

1. 掌握矩陣的基本概念，熟悉乘、加、系數相加、矩陣相乘等基本矩陣運算，了解轉置矩陣，能運用運算法則計算轉置矩陣。

2. 掌握逆矩陣的定義以及意義，了解其特征以及存在的充分必要條件，熟悉其求法，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。

3. 掌握矩陣初等變化的概念，理解初等矩陣與矩陣等價的概念，了解矩陣的秩的含義，能通過初等變換求矩陣的秩和矩陣的逆。

4. 掌握幾種特殊矩陣(零矩陣，單位矩陣，對角矩陣，對稱矩陣，上、下三角矩陣，稀疏矩陣等)并能熟練運用其性質。

(十三)行列式

【基本內容】

(一)行列式：定義、行列式的性質

(二)行列式的計算：計算、行列式的展開

【基本要求】

1. 掌握行列式的概念，了解行列式的性質。

2. 會利用行列式的性質和行列式按行(列)展開定理計算行列式。

(十四)向量空間

【基本內容】

(一)向量：n維向量概念、向量的線性組合

(二)向量組：概念、向量組線性相關性、極大線性無關組、向量組的秩

(三)向量空間：定義、性質、向量空間的封閉性

(四)子空間：定義、子空間的充要條件

(五)向量空間的基、維數與向量坐標：概念、基變換和坐標變換

【基本要求】

1. 掌握n維向量的概念，理解向量的線性組合與線性表示的概念。

2. 掌握向量組的概念，理解向量組線性相關、線性無關的概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別方法。掌握向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，并會計算向量組的極大線性無關組及秩。

3. 掌握向量空間的定義和性質，理解向量加法和數乘運算的封閉性。

4. 掌握子空間的定義，理解子空間的充要條件，掌握子空間的判別方法。

5. 掌握向量空間的基、維數與向量坐標的概念，會計算有限維向量空間的基和維數，了解基變換和坐標變換的公式，會求過渡矩陣。

(十五)特征值與特征向量

【基本內容】

(一)特征值與特征向量：矩陣的特征值和特征向量的概念、性質。

(二)相似矩陣：相似矩陣的實義與性質。

(三)矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣。

(四)實對稱矩陣的特征值和特征向量及相似對角矩陣。

【基本要求】

1. 理解實方陣的特征值和特征向量的定義，理解實方陣的特征值和特征向量的性質，會求給定矩陣的特征值和特征向量。

2. 理解矩陣相似的定義，掌握相似矩陣的性質，

3. 熟知n階實方陣相似于對角矩陣的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法。熟知n階實方陣相似于對角矩陣的一個充分條件：A有n個互不相同的特征值。

4. 掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質，了解實對稱矩陣必正交相似于對角矩陣，會求實對稱矩陣的正交相似標準形。

(十六)正交性和最小二乘法

【基本內容】

(一)線性空間內積：線性空間內積的概念、性質，及其運算。

(二)標準正交基：標準正交基的概念和求法，標準正交基下度量矩陣、向量坐標及內積的特殊表達。

(三)正交矩陣的概念及性質，正交矩陣與標準正交基的過度矩陣的關系。

(四)正交變換的概念與性質，正交變換和正交矩陣的關系，正交子空間，正交補的概念及性質。

(五)同構的概念與最小二乘法。

【基本要求】

1. 掌握線性空間內積的概念及性質，理解歐幾里德空間的概念，了解歐幾里德空間中向量的正交，了解歐幾里德空間中基的度量矩陣及其用途。

2. 理解標準(規范)正交基的概念，掌握標準(規范)正交基的求法(施密特正交化過程)，了解標準正交基下度量矩陣、向量坐標及內積的特殊表達。

3. 掌握正交矩陣的概念及性質，了解正交矩陣與標準正交基的過渡矩陣之間的關系。

4. 理解正交變換的概念及其性質，了解正交變換和正交矩陣之間的關系，理解正交子空間、正交補的概念及性質。

5. 了解同構的概念，熟練掌握最小二乘法的運算方法。

(十七)對稱矩陣和二次型

【基本內容】

(一)對稱矩陣對角化：步驟與方法。

(二)二次型及其矩陣表示、合同變換與合同矩陣、二次型的秩、慣性定理、二次型的標準形和規范形、用正交變換和配方法化二次型為標準形、二次型及其矩陣的正定性。

【基本要求】

1. 熟練掌握對稱矩陣對角化的步驟與方法。

2. 了解二次型的概念,會用矩陣形式表示二次型,了解合同變換與合同矩陣的概念了解二次型的秩的概念,了解二次型的標準形、規范形等概念,了解慣性定理,會用正交變換和配方法化二次型為標準形。