2019年牡丹江師范學院809高等代數考研初試大綱

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科目代碼、名稱:809高等代數

專業類別：■學術型 □專業學位

適用專業: 070104應用數學 0701Z1數學教育

一、考試要求

高等代數是我校數學學科研究生入學考試初試考試科目。通過考試測試考生的高等代數理論知識基礎和應用相關知識解決問題的能力，以保證所錄取的考生具有較好的代數基礎素養。

第一章 多項式

1.理解數域的基本概念;會判別某集合對于給定運算是否構成數域;

2.掌握一元多項式的基本概念與性質;

3.掌握一元多項式整除的定義，性質及帶余除法。

4.掌握一元多項式最大公因式的定義，性質，輾轉相除法，及多項式互素的定義和性質，會判別多項式互素;

5.掌握一般數域上一元多項式的因式分解理論，會求解在有理數域，實數域及復數域上的因式分解問題;

6.掌握一元多項式的重根，重因式及不可約多項式的相關定義與性質，熟練掌握余數定理，并會用其求多項式的根。

7.理解高斯引理，熟練掌握多項式有有理根的判別法，會Eisenstein判別法判別多項式是不可約的。

第二章 行列式

1.理解n級行列式的定義，掌握行列式的基本性質，會求行列式的值;

2.理解矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換的定義;

3. 熟練掌握行列式按一行(列)展開的公式、克萊姆(Cramer)法則、拉普拉斯(Laplace)定理。

第三章 線性方程組

1.理解消元法的基本理論，掌握n維向量空間、向量組的線性相關性、矩陣的秩等基本概念與基本理論;

2. 學會判斷線性方程組是否有解、有解時有多少解、并會求線性方程組的通解;

3. 熟練掌握線性方程組解的存在性條件與解的結構。

第四章 矩陣

1.理解矩陣的定義及矩陣的加法、數乘、乘法、轉置及其運算規律，并能熟練地應用;

2.掌握矩陣乘積的行列式與秩的相關性質定理;

3.掌握逆矩陣的概念、矩陣可逆的判定，會求可逆矩陣的逆矩陣;

4.理解分塊矩陣的定義，計算法則及運算規律，掌握分塊矩陣的初等變換及其應用。

第五章 二次型

1.理解二次型的概念及二次型與對稱矩陣的一一對應關系，及矩陣合同的定義;

2.掌握二次型的標準形及化二次型為標準形的方法;

3.掌握復數域和實數域上二次型的規范形及唯一性定理，會化二次型為規范形，掌握慣性定理。

4.理解正定二次型與正定矩陣的概念和判別法。

第六章 線性空間

1.理解線性空間的概念及有關定義：包括線性相關、線性無關、維數、基、坐標、子空間、子空間的交與和、子空間的直和、余子空間等;

2.掌握線性空間的簡單性質及基變換和坐標變換公式;

3.掌握子空間的判別法，理解生成子空間的概念并掌握生成子空間的集合形式;

4.掌握維數公式及其證明方法并能靈活應用;掌握常用的幾個子空間直和的判別法;

5.理解線性空間的同構映射和線性空間同構的概念，掌握同構映射的基本性質。

第七章 線性變換

1.理解線性變換的概念，掌握線性變換的基本性質及運算;

2.會求線性變換在一組基下的矩陣，掌握矩陣相似定義及性質。

3.理解線性變換的特征值與特征向量的概念和n階方陣的特征多項式，特征值與特征向量的概念，會求有限維線性空間中線性變換的特征值、特征向量;

4.掌握n維線性空間的一個線性變換可對角化的一些充分條件與充要條件，在滿足可對角化時能將矩陣化成對角形;

5.理解線性變換的值域、核、秩和零度等概念及相關定理，掌握不變子空間的定義;

6. 理解矩陣的最小多項式的定義和性質，會求矩陣的最小多項式。

第八章

–矩陣

1. 理解-矩陣的定義及其性質、-矩陣的初等變換、-矩陣的初等矩陣、-矩陣等價以及-矩陣在初等變換的等價標準形的概念;

2.理解-矩陣的行列式因子、不變因子等基本概念，熟練掌握-矩陣的行列式因子與不變因子之間的關系，掌握-矩陣等價的條件;

3.掌握數字矩陣的初等因子和線性變換的初等因子的基本概念，掌握矩陣的初等因子與矩陣的不變因子、行列式因子之間的關系，以及數字矩陣之間相似的充要條件;

4.理解若爾當型矩陣的定義，及矩陣相似于若爾當標準形的理論、會求矩陣相似的若爾當標準型。

第九章 歐幾里得空間

1. 理解內積及歐氏空間的概念及向量長度和兩個向量的夾角的概念;

2.理解n維歐氏空間中基的度量矩陣及由此而確定的歐氏空間的內積，掌握度量矩陣的性質與不同基的度量矩陣之間的關系;

3.理解正交組、標準正交組、正交基、標準正交基等概念，切實掌握施密特(Schimidt)正交化方法;

4.掌握歐氏空間同構和正交變換的概念及正交變換的幾個等價刻畫，掌握正交矩陣的定義及性質，理解子空間正交與正交補的概念，

6.理解對稱變換的概念;切實掌握求正交陣，使實對稱矩陣正交相似于對角陣的方法;掌握用正交線性替換化實二次型為標準形的方法。

二、考試內容

參考書目：《高等代數》，北京大學數學系主編，第四版，高等教育出版社，北京，2013.

注：本文中“章”、“節”均指以上參考書目中的“章”、“節”

1) 多項式(第一章1-9節)

2) 行列式(第二章1-8節)

3) 線性方程組(第三章1-6節)

4) 矩陣(第四章1-7節)

5) 二次型(第五章1-4節)

6) 線性空間(第六章1-8節)

7) 線性變換(第七章1-9節)

8) -矩陣(第八章1-6節)

9) 歐幾里得空間(第九章1-6節)

三、試卷結構(包括考試時間、總分、考試方式、題型、分數比例等)

考試時間：180分鐘

總 分：150分

考試方式：筆試，閉卷

題 型：(1)選擇題或填空題40分;(2)解答題(計算題和簡答題)60分 ;(3)證明題50分

四、學院審核意見

主管領導簽字： 單位公章：

注：“總分”按照各自命題科目分值具體情況添寫。