2019年中國(guó)科學(xué)院大學(xué)894數(shù)學(xué)專業(yè)綜合考研初試大綱

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• 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)2026考研專業(yè)課復(fù)習(xí)資料「真題▪筆記▪講義▪題庫」

中國(guó)科學(xué)院大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試

《數(shù)學(xué)專業(yè)綜合》考試大綱

本《數(shù)學(xué)專業(yè)綜合》考試大綱適用于中國(guó)科學(xué)院大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試。所涉及的復(fù)分析、拓?fù)浠�礎(chǔ)、實(shí)分析、代數(shù)、微分幾何以及概率論都是大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)生最基本的課程，也是大多數(shù)理工科專業(yè)學(xué)生的必修基礎(chǔ)課。要求考生熟悉復(fù)分析、拓?fù)浠�礎(chǔ)、實(shí)分析、代數(shù)、微分幾何以及概率論等課程的基本概念、掌握基本定理、有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和綜合分析解決問題能力。

一、考試的基本要求

要求考生比較系統(tǒng)地理解復(fù)分析、拓?fù)浠�礎(chǔ)、實(shí)分析、代數(shù)、微分幾何以及概率論等課程的基本概念和基本理論，掌握相應(yīng)的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問題和解決問題的能力。

二、考試方法和考試時(shí)間

數(shù)學(xué)綜合考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。

《數(shù)學(xué)綜合考試試卷》試題分成六個(gè)部分，每一部分試題的分值和為90分，總值為540分。考生需在540分的試題中任意選做分值和不超過150分的試題并明確標(biāo)示。如果選做試題的分值和超過150分，判卷將按照所選做試題的題號(hào)順序依次判卷直到所做題目分值和超過150分題目的前一題，后面所做試題視作無效考試內(nèi)容。

三、 考試內(nèi)容

(一) 復(fù)分析

1. 復(fù)數(shù)

2. 復(fù)函數(shù)

3. 解析函數(shù)的幾何性質(zhì)

4. 復(fù)積分

5. 級(jí)數(shù)與乘積展開

6. 共性映射與Dirichlet問題

7. 橢圓函數(shù)(簡(jiǎn)單介紹)

(二) 拓?fù)浠�礎(chǔ)

1. 引論. Euler定理，拓?fù)涞葍r(jià)， 曲面，抽象空間，一個(gè)分類定理，拓?fù)洳蛔兞俊?/p>

2. 拓?fù)淇臻g及連續(xù)映射. 開集與閉集，連續(xù)映射，充滿空間的曲線，Tietze擴(kuò)張定理

3. 拓?fù)淇臻g的緊致性與連通性. 歐氏空間的有界閉集，Heine Borel定理，緊致空間，乘積空間，連通性道路連通性

4. 粘合空間. Mbius帶的制作，粘合拓?fù)洌�拓�(fù)淙海�軌道空間

5. 拓?fù)淇臻g的基本群. 同倫映射，拓?fù)淇臻g的基本群，計(jì)算，同倫型，Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理，平面的分離，曲面的邊界，復(fù)疊空間及其基本性質(zhì)

6. 單純剖分. 空間的單純剖分，重心重分，單純逼近，復(fù)形的棱道群，軌道空間的單純剖分

7. 曲面. 分類，單純剖分與定向，Euler示性數(shù)，剜補(bǔ)運(yùn)算，曲面符號(hào)

8. 單純同調(diào). 閉鏈與邊緣，同調(diào)群，單純映射，輻式重分，不變性

9. 映射度與Lefschetz數(shù). 球面的連續(xù)映射，Euler Poincaré公式，Borsuk Ulam定理，Lefschetz不動(dòng)點(diǎn)定理

(三) 實(shí)分析

1. 抽象積分. 可測(cè)函數(shù)、簡(jiǎn)單函數(shù)及可積函數(shù)的基本概念，測(cè)度的基本性質(zhì)，函數(shù)列的收斂性，勒貝格單調(diào)收斂定理，F(xiàn)atou引理，控制收斂定理。

2. 正博雷爾(Borel)測(cè)度. 拓?fù)渲械幕�本概念，Riesz表示定理，Borel 測(cè)度的正則性，Lebesgue 測(cè)度，可測(cè)函數(shù)的連續(xù)性，Lusin(魯金) 定理。

3. 空間. 凸函數(shù)，Jensen(詹森) 不等式， 空間中的重要不等式：如Holder 不等式，Minkowski 不等式， 函數(shù)列中的范數(shù)收斂與依測(cè)度收斂以及幾乎處處收斂之間的關(guān)系。

4. Hilbert空間的初等理論. 內(nèi)積，平行四邊形法則，投影定理，正交基，傅立葉級(jí)數(shù)。

5. Banach空間技巧的例子. 賦范空間，貝爾定理及其推論， Hahn-Banach定理，Poisson 積分。

6. 復(fù)測(cè)度. 全變差，絕對(duì)連續(xù)性，Radon-Nikodym(拉東-尼柯迪姆) 定理極其推論, 空間上的有界線性泛函。

7. 微分. 測(cè)度的導(dǎo)數(shù)，Hardy-Littlewood 極大函數(shù)，微積分基本定理，可微變換。

8. 乘積空間的積分. 乘積空間的測(cè)度，F(xiàn)ubini定理，乘積測(cè)度的完備化，卷積，分布函數(shù)。

(四) 代數(shù)

1. 群論

2. 環(huán)與代數(shù)、模論

3. 范疇論初步、泛代數(shù)

4. 域論與Galois理論

5. 表示理論基礎(chǔ)

(五) 微分幾何

1. 空間區(qū)域的幾何坐標(biāo)系. 歐氏空間，黎曼和偽黎曼空間，歐氏空間的變換群，弗萊納公式，偽歐幾里德空間

2. 曲面論. 空間曲面的幾何，第二基本型，球面的度量，偽歐幾里德空間中的類空曲面，幾何中的復(fù)語言，解析函數(shù)，曲面度量的共形形式

3. 高斯映射的幾何. 高斯映射以及基本性質(zhì)，局部坐標(biāo)下的高斯映射，向量場(chǎng)，極小曲面

4. 內(nèi)蘊(yùn)幾何. 等距，共形變換，測(cè)地線，平行移動(dòng)，指數(shù)映射，測(cè)地極坐標(biāo)

5. 變分法. 一維變分問題，守恒定律，哈密頓系統(tǒng)，相空間的幾何理論，測(cè)地方程的二階變分

(六) 概率論

1. 隨機(jī)事件與概率. 隨機(jī)現(xiàn)象與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，樣本空間，隨機(jī)事件及其運(yùn)算，古典概率，幾何概率，概率空間，概率的公理化結(jié)構(gòu)

2. 條件概率與事件的獨(dú)立性. 條件概率與乘法公式，全概率公式，Bayes公式，事件的獨(dú)立性，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，Bernoulli試驗(yàn)

3. 隨機(jī)變量及其分布. 隨機(jī)變量及其分布(離散型，連續(xù)型)，多維隨機(jī)變量及其分布(離散型，連續(xù)型)，條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性，隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布

4. 隨機(jī)變量的數(shù)字特征. 數(shù)學(xué)期望與方差，矩，協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)，熵與信息量，條件期望與最優(yōu)預(yù)測(cè)，母函數(shù)，Laplace變換, 矩母函數(shù)，特征函數(shù)

5. 極限定理. 隨機(jī)變量的收斂性，弱大數(shù)定律，強(qiáng)大數(shù)定律，中心極限定理

6. 隨機(jī)過程初步. 隨機(jī)過程及其有限維分布族，獨(dú)立增量過程, 平穩(wěn)增量過程，二階矩過程，正交增量過程，Gauss過程, Brown運(yùn)動(dòng)，Poisson過程，離散時(shí)間Markov鏈初步，平穩(wěn)過程及其遍歷論初步

7. 隨機(jī)模擬. Monte Carlo方法與隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生，隨機(jī)變量的模擬(離散型，連續(xù)型)，Markov鏈的模擬，積分的近似計(jì)算

四、主要參考書目

1. 《復(fù)分析》原書第三版，Lars V. Ahlfors，機(jī)械工業(yè)出版社。

2. 《基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)》，M.A.Armstrong ，孫以豐譯，北京大學(xué)出版社。

3. 《Real and Complex Analysis》，Walter Rudin.《實(shí)分析與復(fù)分析》(英文版第3版)，機(jī)械工業(yè)出版社，2006。

4. 《代數(shù)學(xué)引論》第三卷(第二版)，柯斯特利金，高等教育出版社，2007。

5. 《現(xiàn)代幾何學(xué)：方法與應(yīng)用(第一卷)---曲面幾何，變換群與場(chǎng)》，杜布洛文，諾維可夫，福明柯，高等教育出版社。

6. 《A First Course in Probability》(9th Ed.), Sheldon M.Ross ,Pearson, 2012. 中文版《概率論基礎(chǔ)教程》為童行偉，梁寶生譯，機(jī)械工業(yè)出版社，2014。