南開數學教授顧沛：帶你感受數學之美

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“我叫顧沛，今年72歲，已經教了43年的數學。”“數學，使一些人垂頭喪氣，又讓一些人如醉如癡。”在很多場合，南開大學數學教授顧沛的開場白，像他往常在數學文化課上要求學生用數學語言表述一樣，“要做到準確、嚴謹、規范、完整、簡潔”。

他頂著一連串“國”字頭榮譽：首屆國家級教學名師獎獲得者，歷任教育部高等學校數學與統計學教學指導委員會副主任、國家基礎教育課程教材專家工作委員會委員，曾獲國家級教學成果一等獎一項、二等獎三項，是兩項“全國五一勞動獎狀”的帶頭人，也是首批“國家級教學團隊”的帶頭人……

他開設高等代數、抽象代數、數學文化、大學文科數學4門本科生課程——每門都被評為國家精品課程。其中，數學文化課程還被評為首批國家精品視頻公開課程。

前不久，顧沛為“國培計劃(2017)”——專職培訓團隊研修項目天津師范大學數學班(高校班)學員作了題為“把教學當作一門藝術”的專題報告。近兩個小時的報告中，全場氣氛輕松熱烈、互動頻繁。“近距離地接觸顧老師，更感覺到師者的偉大，才真正認識到數學思維是多么的重要，數學語言是多么的嚴謹而富有美感!”學員董金茂說。

數學文化之核心：數學之美

顧沛認為，數學的魅力是需要感悟的。學習數學，將幫助一個人提高思維品質。“在數學學習中，不僅要學會數學知識，更要體會數學知識中蘊含的數學文化。要掌握數學觀點，理解數學思維，學會數學方法，了解數學思想，提高數學素養，逐步學會感悟數學之美。”

“數學文化課是一門文理交融的課程。從狹義上講，‘數學文化’是數學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發展;從廣義上講，還包含數學家、數學史、數學美、數學教育、數學發展中的人文成分、數學與各種文化的關系，等等。”顧沛說。

在數學文化課上，顧沛常常信手拈來，用一些淺顯易懂的例子說明抽象而深刻的數學道理。比如，“一一對應”中的數學美，學生不易理解。于是，他設計了“大足石刻千手觀音”的情境，通過從感性到理性的講解，讓學生悟出其中的數學美。

“重慶附近有個大足石刻。其中一個是千手觀音。千手觀音，到底有多少只手呢?往往你第一次數和第二次數的結果是不一樣的，因為千手觀音的手太多了，太亂了，你可能重復地數了一只手，也可能漏數了一只手。”顧沛舉了一位明朝工匠的例子。工匠找來2000張金箔，一張一張地往觀音的手上貼，既不會漏掉一只手，也不會重復地貼一只手;這樣，貼上的金箔和觀音的手指就產生了一一對應的關系。再數剩下的金箔，算出貼上的金箔數，最后的數字是1007，這就是千手觀音手的數目。

顧沛的講座中，這樣的例子不勝枚舉。他用“韓信點兵”的故事講解剩余定理，讓學生看到中國古代的數學成就;用“有無限個房間的旅館”客滿后仍然能安排新來的客人，解釋無限與有限的根本區別，讓學生感悟“無限”中的數學美;用“10秒鐘計數”的游戲，逐步引出斐波那契數列與黃金分割;還以“抓堆”游戲引出“解決關于自然數的問題”的四點規律，讓學生感悟其中的數學之美……

盡管已年逾古稀，但顧沛對傳播“數學之美”的事業一刻也沒有停歇。不久前，在為天津市南開中學學生作“英才計劃”校園宣講時，他開門見山地說，當今社會十分重視人才的數學素養，一些企業招聘考試、高校的自主招生考試，往往也與數學素養相關。“在這些數學素養中，蘊含并體現著豐富的數學之美，就看我們能不能理解它、掌握它，就看我們有沒有數學審美的觀點和思想，就看我們能不能透過現象看本質，感悟到數學之美。”

“這些年，不時有人問我，學了13年的數學，定理、公式，生活中用不上，工作中也從來沒用過，為什么高等數學還要設為必修課，連文科生也不例外?到底數學的價值何在?今天來到這里，就想協助澄清這個誤解，讓大家對數學不再畏懼。”2015年8月，顧沛還趕了一回“時髦”，他受邀參加山東衛視真人秀節目《我是先生》，在電視節目中講授數學文化。

節目中，顧沛以轉盤摸彩的游戲為例，深入淺出地講解了如何以“心中有數”“簡化和量化”“邏輯推理”為基礎，用數學解決實際問題的方法，巧妙地解讀了數學文化課的特色和亮點。節目結束時，全場觀眾對顧沛和他的數學文化課報以熱烈的掌聲。

“數學文化課程著重于傳授數學思想，其精髓是數學知識與科學精神的有機融合，是科學素質教育與人文素質教育的有機融合。”十多年來，顧沛和他的同事們不遺余力地推廣著這一理念。對于這群數學教師來說，“數學文化”早已不僅是一門普通的課程，而是值得為之付出一生的事業。

數學文化之傳播：課堂藝術

近年來，包括清華、北大在內的180余所高校、60余所中小學都曾邀請顧沛作數學文化報告。全國性的各種教改會議，特邀他作數學文化課程方面的報告，達20余次。

顧沛熱愛三尺講臺。很多學生說：“顧先生站在那，已是一道風景。”每次他說“下課”時，學生們都會全體鼓掌，向他表示敬意。

每次上課，他都十分重視與學生的互動交流。他有個口頭禪：“大家可以交頭接耳地討論，一分鐘后舉手回答。”“在這一分鐘內，有時是沒有學生舉手的。但不要認為這一分鐘是無用功，其實學生正在頭腦內展開激烈的思考，實際上每分鐘都是教書育人。”顧沛說。

每到學期末，顧沛的“半開卷考試”更是讓學生領略了他的教學藝術之美。半開卷考試與開卷考試的區別，在于允許考生攜帶指定的資料進入考場。雖然指定可攜帶資料，但他仍和學生“約法三章”：一是不能攜帶書和筆記本進考場，只能帶一張A4大小的紙;二是紙的正反兩面可事先寫上內容，但不許打印，不許復印，只能手寫;三是字的顏色只能以藍色為主，因為“復印機是印不出來藍色字跡的”。之所以約法三章，是因為在顧沛看來，“數學文化課主要考查學生的能力，考查學生對數學文化的理解”。

多年來，數學文化課的選課十分火爆，每次都因人數過多需要計算機篩選。有的學生連選三個學期均未選上此課，不得已向教務處老師求情，爭取不通過計算機選課而通過手選上課。

有一名學生記錄了上數學文化課的多個“第一次”：“第一次用美學的眼光來看待數學;第一次了解到數學在各個領域所發揮的重要作用;第一次走進數學史的長河，去追隨數學家的足跡;第一次體會到數學中濃郁的人文主義精神;第一次知道曾深刻影響人類社會發展進程的3次數學危機……數學文化課向我展示了數學極富魅力的一面，不是以往數學課上的定理、公式、計算和題海，而是數學的思想、精神和方法。”

從南到北、從春到冬，數學文化課還經常會贏得校外追隨者的掌聲。2013年冬天，深圳職業技術學院的幾位干部、教師特意來南開大學就數學文化課“取經”。那天，顧沛講的是“類比的思想”。他精彩而富有激情的講解、嚴謹縝密的推理、融洽的師生互動，讓大家不禁嘆服，“顧老師的課讓人如沐春風，聽后意猶未盡”。青年教師劉志勇說：“當老師就應該如顧老師這樣充滿熱情，熱愛教學，全情投入。”

回校以后，為了讓更多師生了解數學文化、認識數學文化，深圳職業技術學院又于2014年邀請顧沛到校進行講座，向全校師生推廣和普及數學文化。同年，他們也在全校開設了數學文化通識課程，并于2017年在商務印書館出版了一部高職類的數學文化教材。如今，當年的青年教師劉志勇已成為該校數學文化課的領頭人。

談及從教40余年的感悟，顧沛深有體會：“一個教師如果既把教學當作職業去恪守，又把教學當作事業去熱愛，還把教學當作科學和藝術去追求，那么，境界高了，教學效果也一定會更好。”

數學文化之靈魂：素養教育

師者，所以傳道授業解惑也。在顧沛看來，“傳道”是第一位的，只知道授業解惑的老師，充其量是經師。古人說“經師易得，人師難求”，好教師不能僅僅是句讀之師，更要是人師。

顧沛特別關心學生，特別是那些遇到困難的學生。1989級數學試點班學生孫文昌在讀大學時差幾分沒考過英語四級，按規定不能正常畢業。一連幾天，顧沛跑到教務處“求情”：“文昌是個學數學的苗子!”一番努力之下，學校破格允許他免試留校讀研，條件是下一年考過英語四級。

后來，孫文昌順利完成博士階段的學習，之后在陳省身數學研究所從事博士后研究，并獲中國博士后科學基金一等資助金。

博士后出站后，孫文昌留校任教，于2002年晉升教授，先后獲微軟青年教授獎、天津市青年科技獎、天津市自然科學一等獎、國務院政府特殊津貼和國家杰出青年科學基金。“如果沒有顧老師的關心，我肯定不會有今天的成績。特別感謝顧老師給我不一樣的人生。”孫文昌說。

從2015年秋季開始，南開大學“數學文化”公共選修課以“慕課”(MOOC)的形式開展線上、線下相結合的教學。線上，學生自主安排時間在“中國大學MOOC”平臺學習，觀看顧沛的《數學文化十講》教學視頻，完成課堂作業、參與在線討論;線下，學生按照課表在教室上見面課，師生互動、加深、拓展線上學習內容，完成課堂練習。

最近的一次數學文化課上，學生鄒文俊就在演講中當了一次“先生”。在與顧沛討論幾次后，一個頗具吸引力的演講題目出爐：圍棋棋盤為什么有十九路?通過查閱史料，鄒文俊發現最初的圍棋棋盤并不是十九路的，“這就說明當今圍棋棋盤是十九路必有它的合理性”，循著這樣的思路，鄒文俊展開了進一步研究。

試講時，顧沛幫他反復修改提綱，并提出很多中肯的意見。“演講者要站在聽眾的角度，讓聽眾更容易理解”“做課件時，背景與字體顏色的反差要明顯，要用不同顏色的字體突出重點”，這些話像烙印一樣，深深地印在鄒文俊的腦海中。

實際上，雖然上臺演講只有十幾分鐘，但演講前的試講交流，顧沛和學生往往至少要花費一個半小時。“怎么突出重點，怎么淺顯易懂，怎么讓更多的學生受益、學有收獲，這些都要具體指導。”顧沛說。

令鄒文俊印象更深的是，試講時，顧沛還針對演講中“所占目數”“目效率”等許多專用名詞的定義與解釋和他討論了很久，還建議他在演講中加入一些提問與互動過程，并且對課件中的一些概念、定義等作好備注，使用一些圖解說明，讓聽眾感覺通俗易懂、深入淺出。

當演講正式開始，鄒文俊由圍棋的歷史引入，并學著顧沛的樣子：“給大家一分鐘思考：為什么圍棋棋盤是十九路的……”正因為準備充分，鄒文俊的演講十分從容、成功。

“有句話叫‘灌滿這桶水’，還有句話是‘點燃這把火’。”顧沛這樣總結自己的“育人經”，“前者說的是知識的傳授，后者說的是育人，引起學生學習的興趣，讓他們能夠全面學習、可持續地學習、終身學習，在學習中學會學習。”

“數學文化課的主要目的是改善學生思維品質，提高學生數學素養。而且，好教師要做學生學習的設計者、引導者、啟發者、指導者、合作者，成為學生學習的伙伴。”顧沛是這樣說的，更是這樣做的。