湖南大學2018年數學分析考研大綱

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《數學分析》考試大綱

一、極限與連續

內容：映射與函數;數列的極限、函數的極限;實數系的連續性、 連續函數、一致連續;歐氏空間中的點集、多元函數的極限與連續;函數和連續函數的各種性質。

要求：理解集合、映射、函數、極限、連續、一致連續等概念;理解極限和連續的有關性質和定理;掌握求數列和函數極限的各種方法;掌握連續性、間斷性的判別方法。

二、微分學

內容：微分的概念、導數的概念、微分和導數的意義;全微分和偏導數的概念;求導運算;微分運算;微分中值定理;洛必達法則、泰勒公式;最值和極值。

要求：理解微分和導數的概念、關系、幾何意義和性質;掌握求微分和導數(一階和高階，一元和多元，隱函數，復合函數)的各種方法;理解和應用微分中值定理、泰勒展開;掌握各種最值和極值的求法(一元和多元，條件極值);判斷函數的凹凸性;求空間曲面的切平面和空間曲線的切線。

三、積分學

內容：定積分的概念、性質和微積分基本定理;不定積分和定積分的計算;定積分的應用;重積分的概念及其性質、重積分的計算;曲線積分和曲面積分;反常積分的定義和判別。

要求：理解定積分的概念、性質、意義和微積分基本定理，理解黎曼積分概念，并能靈活應用;掌握不定積分和定積分的各種計算方法(換元法、分部積分、有理函數積分);掌握用定積分計算幾何量和物理量的方法;理解二重和三重積分的概念和性質，掌握二重和三重積分的計算方法;掌握曲線積分和曲面積分概念及計算，掌握各種積分之間的關系;掌握反常積分收斂性的討論和判別方法。

四、級數

內容：數項級數、數項級數的判別法;級數的絕對收斂和條件收斂;函數項級數的收斂和一致收斂及其性質、收斂性的判別;冪級數及其性質、泰勒級數。

要求：理解級數收斂、發散、一致收斂的概念;掌握級數收斂的判別方法(絕對收斂、條件收斂、一致收斂);掌握冪級數收斂半徑和收斂區間的判別方法，并能利用冪級數的性質求和函數。