上海大學2018年高等代數考研初試大綱

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考試科目：811高等代數

一、復習要求：

要求考生熟練掌握高等代數的基本理論以及常用的技巧和方法，能夠熟練地綜合運用高等代數的理論和方法去求解和證明有關問題

二、主要復習內容：

1. 行列式

行列式的定義、性質和常用計算方法(如：三角化法、加邊法、降階法、遞推法、裂項法、范得蒙行列式法、數學歸納法、作輔助行列式法)。

重點：n階行列式的計算。

2. 矩陣理論

矩陣的運算，分塊矩陣的初等變換與矩陣的秩，可逆矩陣與伴隨矩陣，矩陣的三種等價關系(等價、合同、相似)，矩陣的特征值和特征向量，矩陣的跡，矩陣的最小多項式，矩陣的對角化，矩陣的常用分解(如：等價分解，滿秩分解，實對稱矩陣的正交相似分解，實可逆陣的正交三角分解，Jordan分解)，幾種特殊矩陣的常用性質(如：準對角陣，對稱陣與反對稱陣，冪等陣，冪零陣，對合陣，正交陣)。

重點：利用分塊矩陣的初等變換證明有關矩陣秩的等式與不等式，矩陣的逆與伴隨矩陣的性質與求法，矩陣的三種等價關系的關系，矩陣對角化的判斷(特別是多個矩陣的同時對角化問題)和證明，矩陣分解的證明及應用(特別是實對稱矩陣的正交相似分解，Jordan標準型的計算與有關證明)。

3. 線性方程組

Cramer法則，齊次線性方程組有非零解的充要條件及基礎解系的求法和有關證明，非齊次線性方程組的解法和解的結構。

重點：非齊次線性方程組解的結構與其導出組的基礎解系的有關證明。特殊方程組求解。

4.多項式理論

多項式的整除，最大公因式與最小公倍式，多項式的互素，不可約多項式與因式分解，多項式函數與多項式的根。

重點：運用多項式理論證明有關問題，如多項式的互素和不可約多項式的性質的有關證明與應用;重要定理的證明，如因式分解唯一性定理，Eisenstein判別法，Gauss引理等，不可約多項式的證明。

5.二次型理論

二次型線性空間與對稱矩陣空間同構，化二次型為標準形和正規形，Sylvester慣性定律，正定、半正定、負定、半負定及不定二次型的定義和性質，正定矩陣的一些重要結論及其應用。

重點：正定和半正定矩陣的有關證明，n級方陣按合同關系的分類問題，實對稱矩陣有關證明。

6. 線性空間與歐氏空間

線性空間的定義，向量組的線性關系(線性相關與線性無關，向量組的等價，極大線性無關組的求法，替換定理)，基與擴充基定理，維數公式，坐標變換，基變換與坐標變換，生成子空間，子空間的交與和(包括直和)，內積和歐氏空間的定義及簡單性質，子空間的正交補，度量矩陣與標準正交基的求法以及性質的證明和應用，線性空間的同構。

重點：向量組的線性相關與線性無關的綜合證明，判斷一個向量是否由一組向量表示及如何表示，求向量組的極大無關組并用之表示其余向量，維數公式的證明及應用，特別是子空間直和的有關證明，標準正交基的求法及其性質的有關證明。

7. 線性變換

線性變換的定義、運算與矩陣，線性變換的核與值域，不變子空間，線性變換的特征根與特征向量，特征子空間，線性變換的對角化，正交變換、對稱變換與反對稱變換，線性變換與其矩陣對應關系的應用以及其特征值、特征向量等有關性質。

重點：線性變換與其矩陣對應關系的應用，線性變換的對角化，線性變換的核與值域。

正交變換、對稱變換與反對稱變換有關的證明。最小多項式和對角化的關系。