2017年湖南大學數學分析考研大綱

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《數學分析》考試大綱

一、極限與連續

內容：映射與函數；數列的極限、函數的極限；實數系的連續性、連續函數、一致連續；歐氏空間中的點集、多元函數的極限與連續；函數和連續函數的各種性質。
要求：理解集合、映射、函數、極限、連續、一致連續等概念；理解極限和連續的有關性質和定理；掌握求數列和函數極限的各種方法；掌握連續性、間斷性的判別方法。

二、微分學

內容：微分的概念、導數的概念、微分和導數的意義；全微分和偏導數的概念；求導運算；微分運算；微分中值定理；洛必達法則、泰勒公式；最值和極值。
要求：理解微分和導數的概念、關系、幾何意義和性質；掌握求微分和導數（一階和高階，一元和多元，隱函數，復合函數）的各種方法；理解和應用微分中值定理、泰勒展開；掌握各種最值和極值的求法（一元和多元，條件極值）；判斷函數的凹凸性；求空間曲面的切平面和空間曲線的切線。

三、積分學

內容：定積分的概念、性質和微積分基本定理；不定積分和定積分的計算；定積分的應用；重積分的概念及其性質、重積分的計算；曲線積分和曲面積分；反常積分的定義和判別。
要求：理解定積分的概念、性質、意義和微積分基本定理，理解黎曼積分概念，并能靈活應用；掌握不定積分和定積分的各種計算方法（換元法、分部積分、有理函數積分）；掌握用定積分計算幾何量和物理量的方法；理解二重和三重積分的概念和性質，掌握二重和三重積分的計算方法；掌握曲線積分和曲面積分概念及計算，掌握各種積分之間的關系；掌握反常積分收斂性的討論和判別方法。

四、級數

內容：數項級數、數項級數的判別法；級數的絕對收斂和條件收斂；函數項級數的收斂和一致收斂及其性質、收斂性的判別；冪級數及其性質、泰勒級數。
要求：理解級數收斂、發散、一致收斂的概念；掌握級數收斂的判別方法（絕對收斂、條件收斂、一致收斂）；掌握冪級數收斂半徑和收斂區間的判別方法，并能利用冪級數的性質求和函數。