2017年深圳大學數(shù)學分析考研初試大綱

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考試科目代碼及名稱：716數(shù)學分析

一、考試的基本要求

《數(shù)學分析》考試大綱適用于報考深圳大學基礎(chǔ)數(shù)學、應用數(shù)學專業(yè)碩士研究生的入學考試。本考試是為招收基礎(chǔ)數(shù)學、應用數(shù)學專業(yè)碩士生而擬設的具有選拔功能的考試。其主要目的是測試考生對數(shù)學分析最基本內(nèi)容的理解、掌握和熟練程度。要求考生熟悉數(shù)學分析的基本理論、掌握數(shù)學分析的基本方法,具有較強的抽象思維能力、邏輯推理能力和運算能力。

二、考試內(nèi)容和考試要求

1．極限與連續(xù)
數(shù)列極限、函數(shù)極限、函數(shù)的連續(xù)性和一致連續(xù)性、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
(1)掌握數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念，理解無窮大（小）量的概念及基本性質(zhì)；
(2)掌握極限的性質(zhì)（唯一性、有界性、保號性）及四則運算性質(zhì)、單調(diào)有界收斂定理、Cauchy收斂準則、迫斂性（兩邊夾、夾擠）原理、兩個重要極限；
(3)掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性等特殊性質(zhì)；
(4)掌握連續(xù)性的概念及間斷點的分類，掌握初等函數(shù)的連續(xù)性；
(5)掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性、最值性、介值性（零點定理）、一致連續(xù)性。
2．一元函數(shù)微分學
導數(shù)、微分、求導運算與法則、微分運算、微分中值定理、洛必達法則、泰勒公式、函數(shù)單調(diào)性、極值與最值、凸性與拐點。
(1)理解可導與可微、可導與連續(xù)的概念及其相互關(guān)系，理解導數(shù)的幾何意義；理解函數(shù)極值點與極值、凸性、拐點等概念；
(2)掌握（高階）導數(shù)、微分的四則運算與復合函數(shù)求導運算法則，掌握左、右導數(shù)的概念以及分段函數(shù)求導方法，掌握導函數(shù)的介值定理；
(3)會用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值性，會用二階導數(shù)研究函數(shù)的凸性與拐點；
(4)掌握微分中值定理及其在根的判定、不等式、不定式極限（洛必達法則）等方面的應用；
(5)掌握泰勒公式及其在極限、極值點判定等方面的應用；
(6)掌握極值與最值的求法、凸的等價定義、以及凸性在不等式等方面的應用。

3．實數(shù)的完備性
區(qū)間套、聚點、開覆蓋的概念。
（1）理解聚點概念及其刻畫，理解區(qū)間套、開覆蓋等概念；
（2）理解關(guān)于實數(shù)完備性的六大基本定理及其證明思想；
（3）會用實數(shù)完備性定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性、最值性、介值性（零點定理）、一致連續(xù)性。

4．一元函數(shù)積分學
不定積分、定積分、換元法與分部積分法、牛頓萊布尼茲公式、變上限積分、積分中值定理、定積分在幾何中的應用、無窮積分、瑕積分。
(1)掌握原函數(shù)、不定積分的概念及其基本性質(zhì)；
(2)熟記不定積分的基本公式，掌握換元積分法和分部積分法，會求初等函數(shù)、有理函數(shù)和三角有理函數(shù)的積分；
(3)掌握定積分的概念、可積條件、可積函數(shù)類；
(4)掌握定積分的性質(zhì)，熟練掌握微積分基本定理、定積分的換元積分法和分部積分法以及積分中值定理；
(5)掌握變上限積分的性質(zhì)；
(6)能用定積分計算平面圖形的面積、弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積與側(cè)面積；
(7)理解廣義積分收斂的概念、Cauchy收斂準則，掌握廣義積分收斂性的比較判別法，無窮積分的狄利克雷判別法、阿貝爾判別法。

5．無窮級數(shù)
數(shù)項級數(shù)、絕對收斂和條件收斂、判別法、函數(shù)項級數(shù)、一致收斂、冪級數(shù)、收斂半徑、收斂域、（冪級數(shù)）泰勒級數(shù)、傅立葉級數(shù)。
(1)理解數(shù)項級數(shù)斂散性的概念，掌握數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)；
(2)掌握正項級數(shù)的比較判別法和根式判別法；
(3)掌握任意項級數(shù)的狄利克雷判別法和阿貝爾判別法；
(4)掌握函數(shù)項級數(shù)（函數(shù)列）一致收斂性判別法、一致收斂函數(shù)項級數(shù)（函數(shù)列）的性質(zhì)；
(5)掌握冪級數(shù)收斂半徑與收斂域的概念與求法、冪級數(shù)的性質(zhì)，能夠?qū)⒑瘮?shù)展開為冪級數(shù)；
(6)掌握周期函數(shù)傅立葉級數(shù)的展開與收斂性。

6．多元函數(shù)微分學
多元函數(shù)的極限與連續(xù)、全微分、（高階）偏導數(shù)、方向?qū)��?shù)、泰勒公式、隱函數(shù)求導及幾何應用。
(1)掌握多元函數(shù)極限、偏導數(shù)、全微分、方向?qū)��?shù)的概念及其求法；
(2)掌握高階偏導數(shù)的計算、低階泰勒公式的計算；
(3)掌握多元函數(shù)的極值、條件極值的概念及其判別；
(4)掌握隱函數(shù)求導方法及其幾何應用。

7．含參變量積分
含參變量正常積分，含參變量反常積分、格馬函數(shù)、貝塔函數(shù)
(1)掌握含參變量正常積分的分析性質(zhì)；
(2)掌握含參變量反常積分的一致收斂性及判別法；
(3)掌握含參變量反常積分的分析性質(zhì)；
(4)掌握格馬函數(shù)與貝塔函數(shù)的性質(zhì)與相互關(guān)系；

8．重積分、曲線積分和曲面積分
重積分、重積分計算、第一（二）型曲線積分、第一（二）型曲面積分、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式
(1)理解重積分、第一（二）型曲線積分、第一（二）型曲面積分的概念、基本性質(zhì)與幾何意義；
(2)掌握二重積分與三重積分的常用計算方法及幾何應用；
(3)掌握第一（二）型曲線積分、第一（二）型曲面積分的計算；
(4)掌握并能運用格林公式、高斯公式、斯托克斯公式。

三、考試的基本題型

主要題型可能有：判斷題、填空題、計算題、證明題等。試卷滿分為150分。