重慶工商大學(xué)

考試科目代碼及名稱

869高等代數(shù)

考試方式

閉卷

題型結(jié)構(gòu)

計(jì)算題、證明題

考試總時(shí)長及總分

180 分鐘； 150 分

考試要求、主要內(nèi)容：

要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，   掌握高等代數(shù)的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。

考試內(nèi)容：

（一） 多項(xiàng)式

1.   一元多項(xiàng)式的整除、最大公因式、帶余除法公式、互素、不可約多項(xiàng)式、因式分解、重因式、根及重根、多項(xiàng)式函數(shù)的概念及判別；

2.   輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式；多項(xiàng)式有重因式的判別方法，實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式因式分解定理，有理系數(shù)多項(xiàng)式的全部有理根；

3.   一些重要定理的證明；運(yùn)用多項(xiàng)式理論證明有關(guān)命題； 用多項(xiàng)式函數(shù)方法證明有關(guān)結(jié)論。

（二） 行列式

1.   n -級排列、對換、 n -級排列的逆序及逆序數(shù)和奇偶性；

2.   n -階行列式的定義，基本性質(zhì)及常用計(jì)算方法；

3.   行列式的代數(shù)余子式，Vandermonde行列式；

4.   Cramer法則解決問題。

（三） 線性方程組

1.   向量組線性相（無）關(guān)的判別及相應(yīng)齊次線性方程組有（無）非零解的相關(guān)向量判別法、行列式判別法；

2.   向量組的極大線性無關(guān)組性質(zhì)，向量組之間秩的大小關(guān)系定理及其推論，向量組的秩的概念及計(jì)算，矩陣的行秩、列秩、秩概念及其行列式判別法和計(jì)算；

3.   線性方程組有（無）解的判別定理，齊次線性方程組有（無）非零解的矩陣秩判別法、基礎(chǔ)解系的計(jì)算和性質(zhì)、通解的求法；

4.   非齊次線性方程組的解法和解的結(jié)構(gòu)定理。

（四） 矩陣?yán)碚?

1.   矩陣基本運(yùn)算、分塊矩陣運(yùn)算及常用分塊方法并用于證明與矩陣相關(guān)的結(jié)論；

2.   初等矩陣、初等變換及其與初等矩陣；

3.   矩陣的逆和矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，矩陣可逆的條件及其與矩陣的秩和初等矩陣的關(guān)系，伴隨矩陣概念及性質(zhì)；

4.   行列式乘積定理；

5.   矩陣的跡、方陣的多項(xiàng)式；

6.   矩陣的常用分解，一些特殊矩陣的常用性質(zhì)；

（五） 二次型理論

1.   二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形，慣性定理及其應(yīng)用；

2.   實(shí)二次型或?qū)崒ΨQ矩陣正定、半正定、負(fù)定、半負(fù)定的概念及判定條件和應(yīng)用；

3.   實(shí)二次型在合同變換下的規(guī)范形以及在正交變換下的特征值標(biāo)準(zhǔn)型的求法。

（六） 線性空間；

1.   線性空間、子空間的定義及性質(zhì)；

2.   線性空間中一個(gè)向量組的秩及計(jì)算方法；

3.   線性（子）空間的基和維數(shù)，子空間的基擴(kuò)充定理，生成子空間；子空間的直和、維數(shù)公式；

4.   線性空間的同構(gòu)；

5.   向量組線性相關(guān)或無關(guān)及子空間直和等相關(guān)結(jié)論的綜合證明。

（七）線性變換

1.   線性變換定義與運(yùn)算及其矩陣表示；矩陣的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式及其有關(guān)性質(zhì)；

2.   線性變換及其對應(yīng)矩陣的特征值和特征向量；

3.   線性變換及其矩陣的線性無關(guān)特征向量的判別和最大個(gè)數(shù)及特征子空間；線性變換和矩陣可對角化；

4.   實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)，矩陣的對角化的判定和計(jì)算；

5.   矩陣相似的概念及同一個(gè)線性變換關(guān)于不同基的矩陣之間的關(guān)系；Hamilton-Caylay定理；

6.   線性變換的不變子空間、核、值域。

（八） λ-矩陣

1.   λ-矩陣的初等變換、標(biāo)準(zhǔn)型、行列式因子、不變因子、初等因子及三種因子之間的關(guān)系；

2.   矩陣的Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形的存在唯一性定理的證明及其應(yīng)用。

（九） 歐氏空間

1.   內(nèi)積和歐氏空間的定義及簡單性質(zhì)；歐氏空間的度量矩陣的概念及性質(zhì)；

2.   歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基概念及其求法和性質(zhì)的證明與應(yīng)用；

3.   子空間的正交以及正交補(bǔ)；

4.   正交變換和正交矩陣，對稱變換；線性無關(guān)向量組的施密特（Schmidt）正交化方法。

5.   實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化定理及其相應(yīng)正交矩陣和對角矩陣的求法； 用求特征值方法化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。

參考書目

[1]   《高等代數(shù) （第五版）》，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編，高等教育出版社，2019

[2]   《高等代數(shù)（第五版）》，張禾瑞、郝鈵新編，高等教育出版社，2007