浙江海洋大學(xué)

同等學(xué)力加試科目：

泛函分析

一、考查目標(biāo)

泛函分析是數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課。它形成于20世紀(jì)30年代，是從變分問題，積分方程和理論物理的研究中發(fā)展起來的。它綜合運(yùn)用函數(shù)論，幾何學(xué)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來研究無限維向量空間上的泛函，算子和極限理論。泛函分析可以看作無限維向量空間的解析幾何及數(shù)學(xué)分析，是學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)必不可少理論基礎(chǔ)，為學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)，特別是偏微分方程，概率論，計(jì)算數(shù)學(xué)等學(xué)科分支提供了強(qiáng)有力的研究方法。

二、試卷結(jié)構(gòu)

1、題型結(jié)構(gòu)

名詞解釋(30分)、簡答題(30分)、證明題(40分)，共計(jì)100分。

2、內(nèi)容結(jié)構(gòu)

度量空間和賦范線性空間(25%)、有界線性算子和連續(xù)線性泛函(15%)、內(nèi)積空間和希爾伯特(Hilbert)空間(25%)、巴拿赫空間中的基本定理(20%)、線性算子的譜(15%)。

三、考試內(nèi)容和要求

1、度量空間和賦范線性空間

度量空間定義及例子，度量空間中的極限、稠密集、可分空間，連續(xù)映射，完備度量空間，壓縮映射原理及其應(yīng)用，賦范線性空間和巴拿赫空間定義與例子。

2、有界線性算子和連續(xù)線性泛函

有界線性算子和連續(xù)線性泛函的定義與例子;有界線性算子空間和共軛空間的定義與例子。

3、內(nèi)積空間和希爾伯特(Hilbert)空間

內(nèi)積空間的定義與例子，投影定理，希爾伯特空間中的規(guī)范正交系，希爾伯特空間上的連續(xù)線性泛函，自伴算子、酉算子和正常算子。

4、巴拿赫空間中的基本定理

泛函延拓定理及其應(yīng)用，C[a，b]的共軛空間，共軛算子，綱定理和一致有界性定理，強(qiáng)收斂、弱收斂和一致收斂的定義及例子，逆算子定理，閉圖像定理

5、線性算子的譜

譜的概念及例子，有界線性算子譜的基本性質(zhì)，緊集和全連續(xù)算子的譜，自伴全連續(xù)算子的譜論。

四、推薦書目：

1、程其襄，張奠宙，魏國強(qiáng)等編著，《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)，第三版》，高等教育出版社，2010.

2、汪林編著，《泛函分析中的反例》,高等教育出版社，2014.