集美大學(xué)

集美大學(xué)2021年碩士研究生入學(xué)考試初試自命題考試大綱

考試科目代碼：[622]

考試科目名稱：數(shù)學(xué)分析

一、考核目標(biāo)

(一)考查考生對(duì)數(shù)學(xué)分析的基本概念、基本理論、基本方法和基本計(jì)算的理解和掌握程度。

(二)考查考生的基本計(jì)算能力，邏輯推理能力，抽象思維能力，分析和解決實(shí)際問(wèn)題的綜合能力。

二、試卷結(jié)構(gòu)

(一)考試時(shí)間：180分鐘，滿分：150分。

(二)題型結(jié)構(gòu)

1、計(jì)算題：6小題，每小題12分，共72分。

2、討論題：2小題。每小題15分，共30分。

3、證明題：4小題，每小題12分，共48分。

三、答題方式

閉卷筆試。

四、考試內(nèi)容

(一)一元函數(shù)微積分學(xué)部分，35%(52分)

考試內(nèi)容：

1、分析引論

函數(shù)初等特性;數(shù)列、函數(shù)極限分析定義;左、右極限;無(wú)窮小與無(wú)窮大定義;無(wú)窮小的比較;極限一般性質(zhì)、四則運(yùn)算性質(zhì);極限存在判定準(zhǔn)則;求極限方法;函數(shù)的連續(xù)性;間斷點(diǎn)及分類;函數(shù)一致連續(xù)性及判定法;閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)4條性質(zhì);上(下)確界、上(下)極限、聚點(diǎn)概念;實(shí)數(shù)完備性的7個(gè)等價(jià)描述。

2、一元函數(shù)微分學(xué)

導(dǎo)數(shù)概念及幾何意義;導(dǎo)數(shù)四則、復(fù)合、反函數(shù)運(yùn)算法則;隱函數(shù)、參量函數(shù)求導(dǎo)方法;微分概念及幾何意義;微分四則運(yùn)算法則;高階導(dǎo)數(shù);高階微分;求導(dǎo)數(shù)或微分;Fermat引理;Rolle、Lagrange和Cauchy中值定理;兩種余項(xiàng)形式的Taylor公式;洛必塔法則;函數(shù)單調(diào)性、凹凸性及判定法;函數(shù)極值點(diǎn)、拐點(diǎn)及判定法;曲線漸近線與作圖。

3、一元函數(shù)積分學(xué)

原函數(shù)概念;不定積分及性質(zhì);定積分概念;可積性判定準(zhǔn)則;可積的充分條件;定積分性質(zhì);定積分中值定理;變限積分函數(shù)及性質(zhì);原函數(shù)存在性;微積分學(xué)基本定理;換元積分法;分部積分法;不定積分計(jì)算法;定積分計(jì)算法;定積分在幾何上應(yīng)用。

考試要求：

1、理解變量極限及連續(xù)的概念，會(huì)判定極限的存在性，掌握求極限的基本方法，掌握函數(shù)一致連續(xù)性的論證方法，掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，理解上(下)確界概念，了解實(shí)數(shù)完備性的等價(jià)命題。

2、理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，掌握導(dǎo)數(shù)與微分、高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法，掌握微分中值定理、Taylor公式及其應(yīng)用，會(huì)用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的性態(tài)。

3、理解不定積分、定積分的概念，了解可積性判定準(zhǔn)則，掌握微積分學(xué)基本公式及其應(yīng)用，掌握定積分的性質(zhì)和計(jì)算方法，會(huì)用微元法解決實(shí)際問(wèn)題。

(二)多元函數(shù)微積分學(xué)部分，35%(53分)

考試內(nèi)容：

1、多元函數(shù)微分學(xué)

多元函數(shù)概念;重極限與累次極限;重極限存在性判定與求法;多元函數(shù)連續(xù)性及性質(zhì);偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)��?shù)與全微分概念;一階全微分形式不變性;高階偏導(dǎo)數(shù);二元函數(shù)微分中值定理;偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算法;鏈鎖法則;隱函數(shù)(組)存在性及求導(dǎo)法;偏導(dǎo)數(shù)在幾何上應(yīng)用;多元函數(shù)極值及判定法;條件極值與Lagrang乘數(shù)法;多元函數(shù)最大(小)值的確定。

2、多元函數(shù)積分學(xué)

二、三重積分概念與性質(zhì);重積分累次積分法、極坐標(biāo)法、截面積分法、柱面坐標(biāo)法、球面坐標(biāo)法、一般變量替換法;兩類曲線積分概念、性質(zhì)及聯(lián)系;兩類曲線積分計(jì)算法;Green公式;兩類曲面積分概念、性質(zhì)及聯(lián)系;兩類曲面積分計(jì)算法;奧高公式;Stokes公式;平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)命題;各類積分在幾何上的應(yīng)用;場(chǎng)論初步(梯度場(chǎng)、散度場(chǎng)、旋度場(chǎng))。

考試要求：

1、會(huì)判定重極限的存在性，理解多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)��?shù)的概念及相互聯(lián)系，掌握偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法，掌握微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用，掌握多元函數(shù)極值的判定法，會(huì)用Lagrang乘數(shù)法解決實(shí)際問(wèn)題。

2、理解重積分、曲線積分、曲面積分的概念及性質(zhì)，掌握二重、三重積分的基本計(jì)算方法，掌握兩類曲線積分、曲面積分的相互聯(lián)系和計(jì)算方法，掌握Green公式、奧高公式及其應(yīng)用，了解Stokes公式及場(chǎng)論。

(三)無(wú)窮級(jí)數(shù)論與反常積分部分，30%(45分)

考試內(nèi)容：

1、無(wú)窮級(jí)數(shù)論

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性及性質(zhì);正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法;任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法;絕對(duì)收斂與條件收斂;函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相關(guān)概念;函數(shù)列(級(jí)數(shù))一致收斂性及判別法;函數(shù)列(級(jí)數(shù))的分析運(yùn)算性質(zhì);冪級(jí)數(shù)收斂半徑;Abel第一、第二定理;冪級(jí)數(shù)分析性質(zhì);5個(gè)重要Maclaurin展開(kāi)式;Riemann引理;Fourier級(jí)數(shù)的收斂性定理;Fourier變換;函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù);函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)或正弦、余弦級(jí)數(shù);級(jí)數(shù)求和問(wèn)題。

2、反常積分與含參變量積分

兩類反常積分?jǐn)可⑿约靶再|(zhì);反常積分審斂法;絕對(duì)收斂與條件收斂;兩類反常積分的聯(lián)系;含參變量積分(反常積分)函數(shù)的概念;含參量積分函數(shù)的分析性質(zhì);含參量變限積分函數(shù)的求導(dǎo)法則;含參變量反常積分一致收斂性及判別法;含參量反常積分函數(shù)分析運(yùn)算性質(zhì);反常積分(含參變量積分)計(jì)算法。

考試要求：

1、理解絕對(duì)收斂和條件收斂概念，掌握常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的各種審斂法，理解函數(shù)列(級(jí)數(shù))一致收斂性概念，掌握一致收斂判別法，掌握函數(shù)列(級(jí)數(shù))分析運(yùn)算性質(zhì)，會(huì)將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)或Fourier級(jí)數(shù)，掌握冪級(jí)數(shù)求和方法。

2、理解兩類反常積分?jǐn)可⑿缘母拍钆c性質(zhì)，掌握反常積分的各種審斂法，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的反常積分，理解含參變量積分(反常積分)函數(shù)的概念及分析性質(zhì)，掌握含參變量反常積分一致收斂判別法。

五、主要參考書目

(一)歐陽(yáng)光中等編：《數(shù)學(xué)分析》(第四版)，高等教育出版社，2018年版。(或歐陽(yáng)光中等編：《數(shù)學(xué)分析》(第三版)，高等教育出版社，2007年版。)

(二)劉玉璉等編：《數(shù)學(xué)分析講義》(第五版)，高等教育出版社，2011年版。

(三)數(shù)學(xué)分析其它本科通用教材。