東北林業大學

考試要求

掌握基本的代數運算方法，包括：一元多項式運算(帶余除法，輾轉相除法，綜合除法等)，行列式的計算，矩陣運算(乘法、求秩、判別方陣的可逆性及求逆、求方陣的特征值及特征向量、分塊矩陣等)，線性方程組解的判定及求解等;

掌握基本的代數分析技巧，包括：一元多項式的整除性及因式分解，向量的線性相關和線性無關性，向量空間的基與維數，向量空間的同構，線性方程組解的結構, 線性變換和矩陣的關系，線性變換(方陣)可對角化的判定,對稱矩陣與二次型;

掌握代數的基本幾何背景，理解代數與幾何的關系，包括：歐氏空間，正交變換與正交矩陣, 對稱變換與對稱矩陣, 主軸定理, 利用二次型理論化簡二次曲面方程。

考試內容范圍:

一元多項式

1. 一元多項式的定義和基本運算;

2. 多項式的帶余除法與綜合除法，多項式整除性的常用性質;

3. 多項式的最大公因式概念及性質，輾轉相除法;

4. 不可約多項式的概念及性質，多項式的唯一因式分解定理，多項式的重因式;

5. 多項式函數與多項式的根的概念及性質;

6. 代數基本定理，復數域和實數域上多項式的因式分解定理;

7. 整系數多項式的有理根，Eisenstein判別法。

行列式

1. 線性方程組和行列式的關系，逆序數、排列、n階行列式定義，子式和代數余子式定義;

2 利用行列式的性質計算行列式

3. 行列式依行依列展開;

4. 克拉默法則。

線性方程組

1. 利用消元法求解線性方程組;

2. 矩陣的秩的概念，用矩陣的初等變換求秩;

3. 線性方程組可解的判別法;

矩陣

1. 矩陣的線性運算、乘法、轉置及其運算法則;

2. 逆矩陣概念，矩陣可逆的判定條件及可逆矩陣的性質，求可逆矩陣的逆矩陣的方法;

3. 矩陣的分塊法，分塊矩陣的運算法則。

五、 向量空間

1. 向量空間及子空間的定義;

2. 向量組線性相關、線性無關的定義，向量組線性相關性的判定條件和性質，向量組的極大無關組;

3. 向量空間的基與維數，過渡矩陣及坐標變換公式;

4. 向量空間的同構及其性質;

5. 矩陣的秩與向量組的秩的關系及計算;

6. 齊次線性方程組的解空間與基礎解系;線性方程組的結構式通解。

六、 線性變換

1. 線性映射的概念及其相關性質，線性映射與矩陣的關系;

2. 線性變換的概念及其相關性質，線性變換與矩陣的關系;

3. 不變子空間及其性質;

4. 線性變換的本征值和本征向量、方陣的特征值和特征向量;

5. 可以對角化的矩陣。

七、 歐氏空間

1. 向量空間中向量的內積、長度、夾角的定義及性質;

2. 規范正交基，Schmidt 正交化方法;

3. 正交變換與正交矩陣的定義和性質，旋轉變換與鏡面反射變換的定義及性質;

4. 正交補空間的定義及性質，正射影的定義及計算;

5. 對稱變換的定義和性質，實對稱矩陣的性質，實對稱矩陣的正交相似對角化。

八、 二次型

1. 二次型與對稱矩陣，矩陣的合同關系;

2. 復數域和實數域上的二次型，慣性定理;

3. 利用配方法、初等變換、正交變換方法化二次型為標準型;

4. 正定二次型與正定矩陣的定義及性質，實對稱矩陣正定的判定條件;

5. 半正定二次型與半正定矩陣的定義及性質，實對稱矩陣半正定的判定條件;。

參考書目：

1. 張禾瑞，郝鈵新，《高等代數》(第五版)，高等教育出版社，2007年

2. 北京大學數學系前代數小組，《高等代數》(第四版)，高等教育出版社，2013年

3. 李師正，《高等代數解題方法與技巧》，高等教育出版社，2004年

4. 楊子胥，《高等代數習題解(上下冊)》，山東科學技術出版社，2015年