海南醫(yī)學(xué)院

Ⅰ.考查目標(biāo)

數(shù)學(xué)分析與線性代數(shù)是生物信息學(xué)及相關(guān)專業(yè)的一門基礎(chǔ)課程。該課程主要由數(shù)學(xué)分析和線性代數(shù)兩部分組成，通過對數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)，使學(xué)生系統(tǒng)地獲得函數(shù)、極限、連續(xù)、微積分等方面的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能，通過對線性代數(shù)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生全面的理解和掌握線性相關(guān)、線性方程組、矩陣特征值和特征向量等方面的基礎(chǔ)知識、基本理論和基本計(jì)算方法，為學(xué)習(xí)后繼課程和進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)知識奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在傳授知識的同時(shí)，要通過各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學(xué)生具有抽象概括問題的能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力，還要特別注意培養(yǎng)學(xué)生具有比較熟練的運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識去分析問題和解決問題的能力。

Ⅱ.參考書

《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》第2版 李霞，彭繼世主編 北京大學(xué)醫(yī)學(xué)出版社，2018年

《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》第一版.李霞、賀東奇、姜偉主編.北京大學(xué)醫(yī)學(xué)出版社.2013年12月

《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》第一版.郭政、韓桂秋、王慕潔主編.黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社.2000年8月

《線性代數(shù)及其應(yīng)用》第三版.(美)萊(Lay，D.C.)著;劉深泉等譯 機(jī)械工業(yè)出版社，2005年

《高等數(shù)學(xué)》第二版.李忠、周建瑩主編.北京大學(xué)出版社.2014年5月

《數(shù)學(xué)分析》第四版.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系主編.高等教育出版社.2012年5月

Ⅲ.考試形式和試卷結(jié)構(gòu)

答卷方式：閉卷，筆試，所列題目全部為必答題

答題時(shí)間：180分鐘

卷面滿分：150分

考試題型：名詞解釋、選擇題、填空題、問答題、計(jì)算題

Ⅳ.考查內(nèi)容

(一)函數(shù)、極限與連續(xù)

【基本內(nèi)容】

(一)實(shí)數(shù)：有理數(shù)與無理數(shù)、實(shí)數(shù)集合的基本性質(zhì)、區(qū)間、絕對值不等式。

(二)函數(shù)：變量、函數(shù)的概念、性質(zhì)、初等函數(shù)、分段函數(shù)、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性、幾種具有某些特性的函數(shù)。

(三)數(shù)列極限：數(shù)列的定義、數(shù)列極限的定義、無窮小量、無窮大量，極限的四則運(yùn)算、收劍數(shù)列的性質(zhì)、極限存在準(zhǔn)則、各種趨勢函數(shù)極限的定義。

(四)函數(shù)極限的性質(zhì)：性質(zhì)的理解、函數(shù)極限的性質(zhì)、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限、自變量趨向無限值時(shí)函數(shù)的極限、單側(cè)極限、函數(shù)極限的運(yùn)算、連續(xù)函數(shù)、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、最值定理、介值定理。

【基本要求】

1. 掌握實(shí)數(shù)的概念，區(qū)間和絕對值不等式，熟悉無理數(shù)和實(shí)數(shù)集合的基本性質(zhì)。

2. 掌握函數(shù)的概念、表示方法和性質(zhì)，熟悉函數(shù)的幾何意義和幾種具有某些特性的函數(shù)。

3. 掌握數(shù)列極限的定義，會用定義證明數(shù)列的極限，熟練利用收劍數(shù)列的性質(zhì)及極限存在準(zhǔn)則求數(shù)列的極限。各種趨勢函數(shù)極限的定義，會用定義證明函數(shù)的極限。無窮小量、無窮大量及其階的概念。

4. 掌握函數(shù)極限的性質(zhì)：性質(zhì)的理解、用函數(shù)極限的性質(zhì)、兩個(gè)重要極限求函數(shù)極限，利用極限存在準(zhǔn)則判定函數(shù)極限存在或不存在;會利用直接法和輔助函數(shù)法求解極限。

(二)微積分的基本概念

【基本內(nèi)容】

(一)導(dǎo)數(shù)：定義、幾何意義、由定義求導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)性和連續(xù)性的關(guān)系。

(二)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算：函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則、對數(shù)求導(dǎo)法、高階導(dǎo)數(shù)。

(三)微分：定義、幾何意義、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則階微分形式不變性、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

(四)不定積分：原函數(shù)定義、不定積分定義、不定積分幾何意義、不定積分的性質(zhì)、不定積分的基本公式。

(五)定積分：定積分的定義、定積分的性質(zhì)。

(六)微積分學(xué)基本定理：積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、牛頓-萊布尼茲公式

【基本要求】

1. 掌握導(dǎo)數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的物理意義與幾何意義，熟練使用定義分辨函數(shù)是否可導(dǎo)，并理解可導(dǎo)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系。

2. 掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，熟記函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則與初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，理解復(fù)合函數(shù)、對數(shù)求導(dǎo)法、隱函數(shù)等求導(dǎo)法則，熟練的使用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算導(dǎo)函數(shù)，并會計(jì)算函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

3. 掌握微分的定義、幾何意義，了解高階無窮小的定義，認(rèn)識微分的實(shí)質(zhì)，理解可導(dǎo)與可微的關(guān)聯(lián)與區(qū)別。掌握微分的運(yùn)算規(guī)則，熟練使用基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則計(jì)算微分，并理解微分形式不變性，會使用微分解決近似計(jì)算中的問題。

4. 掌握原函數(shù)、不定積分的定義，熟記并會運(yùn)用不定積分的性質(zhì)和基本公式解決不定積分問題。

5. 掌握定積分的概念，了解函數(shù)可積的充分條件，理解定積分的幾何意義，熟悉定積分的性質(zhì)。

6. 掌握積分上限函數(shù)，通過積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)理解定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系，熟悉并學(xué)會使用牛頓-萊布尼茲公式解決定積分問題。

(三)積分的計(jì)算及應(yīng)用

【基本內(nèi)容】

(一)不定積分的計(jì)算：換元法、分部積分法、有理式的不定積分。

(二)定積分的計(jì)算：換元法、分部積分法。

(三)積分的應(yīng)用：定積分的元素法、平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、平面曲線的弧長。

【基本要求】

1. 掌握并會利用第一類、第二類換元法，分部積分法解決不定積分問題，熟悉有理函數(shù)和三角函數(shù)有理式的積分計(jì)算方法。

2. 掌握并會利用換元法、分部積分法解決定積分問題。

3. 能熟練使用積分解決應(yīng)用問題，熟悉定積分的元素法，會利用定積分計(jì)算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積和平面曲線的弧長。

(四)微分中值定理與泰勒公式

【基本內(nèi)容】

(一)微分中值定理：羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理

(二)柯西中值定理與洛必達(dá)法則：柯西(Cauchy)中值定理、洛必達(dá)法則(L’Hospital)、 型未定式、 型未定式、其它未定式。

 

(三)極值問題：定義、費(fèi)馬定理、充分性條件、求函數(shù)極值的步驟、函數(shù)的最值。

(四)函數(shù)的凸凹性與函數(shù)作圖：函數(shù)的單調(diào)性、凸凹性、凹凸性的判別法則、拐點(diǎn)、漸近線的定義、函數(shù)作圖的步驟。

【基本要求】

1. 掌握羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，會用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性。

2. 了解柯西中值定理，掌握用洛必達(dá)法則求各種不定式極限。

3. 掌握函數(shù)極值的概念，了解費(fèi)馬引理，掌握函數(shù)取到極值的必要條件和充分條件，會求函數(shù)的極值，會求函數(shù)的最大值和最小值，并會解決實(shí)際問題的最值。

4. 掌握凹凸性的定義，會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法，會求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)和漸近線，掌握函數(shù)作圖的步驟。

(五)向量代數(shù)與空間解析幾何

【基本內(nèi)容】

(一)向量代數(shù)：定義、幾何表示、模、單位向量、零向量、反向量、向量的加減、數(shù)乘、內(nèi)積、叉乘、混合積

(二)向量的空間坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系、坐標(biāo)面與卦限、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)、空間兩點(diǎn)間的距離、空間向量的坐標(biāo)、向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示。

(三)空間中平面與直線的方程：平面的方程、點(diǎn)到平面的距離、兩平面的相關(guān)位置、空間直線的方程、直線與平面的相關(guān)位置、直線與平面的交點(diǎn)、空間兩直線的相關(guān)位置

(四)二次曲面：橢圓曲面、橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面、橢圓柱面、雙曲柱面、橢圓拋物面、雙曲拋物面、拋物柱面。

(五)空間曲線的切線與弧長：空間曲線的一般方程、空間曲線的參數(shù)方程、空間曲線的切線與法平面、空間曲線的弧長

【基本要求】

1. 要求理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示，向量模的運(yùn)算，會求單位向量、掌握零向量和反向量，并且要求掌握向量的運(yùn)算(線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積)。

2. 理解空間直角坐標(biāo)系的概念，理解坐標(biāo)面于卦限，掌握兩點(diǎn)間距離公式，對空間兩點(diǎn)間的距離進(jìn)行運(yùn)算，并且會使用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示。

3.掌握平面的方程與直線的方程，會用簡單的條件求平面與直線的方程，理解平面與平面、直線與直線、平面與直線的關(guān)系，會求點(diǎn)到平面的距離。

4. 了解常用二次曲面的方程及圖形，會求簡單的柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程。

5. 了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。

(六)多元函數(shù)微分學(xué)

【基本內(nèi)容】

(一)多元函數(shù)：平面點(diǎn)集、邊界點(diǎn)、二元函數(shù)、n元函數(shù)

(二)多元函數(shù)的極限：概念、二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則、基本性質(zhì)

(三)多元函數(shù)的連續(xù)性：定義、四則運(yùn)算保持函數(shù)連續(xù)性、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性、多元初等函數(shù)、有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

(四)偏導(dǎo)數(shù)：定義、計(jì)算法、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義、高階偏導(dǎo)數(shù)

(五)全微分：定義、性質(zhì)、可微與連續(xù)、可微與偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用

(六)多元函數(shù)微分學(xué)：復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的連鎖法則、復(fù)合函數(shù)的全微分、隱函數(shù)微分法

(七)方向?qū)��?shù)與梯度：方向?qū)��?shù)的定義、計(jì)算、與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、梯度計(jì)算的運(yùn)算法則

(八)多元函數(shù)微分學(xué)：極值問題、多元函數(shù)的極值、計(jì)算步驟、條件極值和Lagrange乘數(shù)法

【基本要求】

1. 理解空間直角坐標(biāo)系、平面點(diǎn)集、邊界點(diǎn)的定義，掌握二元函數(shù)、n元函數(shù)的概念及其對應(yīng)的空間圖像，熟悉幾種常見的曲面及其方程。

2. 掌握多元函數(shù)極限的定義及其基本性質(zhì)，會利用極限存在準(zhǔn)則判定二元函數(shù)極限存在或不存在，并會熟練利用二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則計(jì)算二元函數(shù)的極限。

3. 掌握多元函數(shù)的連續(xù)性的概念，理解斷點(diǎn)的定義，熟悉四則運(yùn)算保持函數(shù)連續(xù)性、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性、多元初等函數(shù)、有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會利用定義判定多元函數(shù)極限存在或不存在。

4. 掌握偏導(dǎo)數(shù)的定義，并會計(jì)算多元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)以及高階偏導(dǎo)數(shù)，理解偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

5. 掌握全微分的定義和性質(zhì)，了解二元函數(shù)可微與連續(xù)的條件，熟悉可微與偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系及全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用。

6. 熟悉多元復(fù)合函數(shù)的常見形式，會使用連鎖法則對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo);會使用隱函數(shù)微分法對隱函數(shù)求導(dǎo)。會計(jì)算復(fù)合函數(shù)的全微分。

7. 掌握方向?qū)��?shù)、梯度的定義，熟悉方向?qū)��?shù)的計(jì)算公式和梯度計(jì)算的運(yùn)算法則并能運(yùn)用于計(jì)算，理解方向?qū)��?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。

8. 會利用極限存在準(zhǔn)則判定多元函數(shù)極限存在或不存在，掌握多元函數(shù)的極限計(jì)算步驟，能熟練計(jì)算多元函數(shù)的極限以及條件極值;掌握拉格朗日乘數(shù)法，并能運(yùn)用于條件極值的計(jì)算。

(七)重積分

【基本內(nèi)容】

(一)二重積分：概念、性質(zhì)、幾何意義

(二)二重積分的計(jì)算：直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分、二重積分化累次積分定理、利用二重積分計(jì)算空間立體體積、極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分

(三)三重積分：定義、性質(zhì)、幾何意義和計(jì)算

【基本要求】

1. 理解二重積分的概念，了解二重積分的幾何意義和性質(zhì)。

2. 掌握二重積分在直角坐標(biāo)系及極坐標(biāo)系下的計(jì)算方法。

3. 理解三重積分的概念，了解三重積分的幾何意義和性質(zhì)，并且掌握三重積分再直角坐標(biāo)系及極坐標(biāo)系下的計(jì)算方法。

(八)曲線積分與曲面積分

【基本內(nèi)容】

(一)曲線積分：概念、性質(zhì)、第一、二型曲線積分的計(jì)算

(二)曲面積分：概念、性質(zhì)、第一、二型曲面積分的計(jì)算

(三)Green公式：應(yīng)用、曲線積分與路徑無關(guān)的定義

【基本要求】

1. 掌握兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系，掌握兩類曲線積分的計(jì)算方法。

2. 掌握兩類曲面積分的概念、性質(zhì)，以及兩類曲面積分的計(jì)算方法。

曲線積分與曲面積分

3.掌握Green公式, 了解二重積分與曲線積分的關(guān)系，運(yùn)用Green公式于計(jì)算平面面積，會運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。

(九)常微分方程

【基本內(nèi)容】

(一)常微分方程：概念、微分方程的階、解、通解、特解

(二)可分離變量的微分方程：特殊的一階微分方程、可分離變量的微分方程、齊次微分方程

(三)一階線性微分方程：線性齊次微分方程、線性非齊次微分方程、柏努利方程

(四)可降階的微分方程：類型、解法

【基本要求】

1. 掌握常微分方程的基本概念，了解微分方程的階、解、解的分類。

2. 掌握特殊的一階微分方程、可分離變量的微分方程、齊次微分方程通解及特解的計(jì)算方法。

3. 掌握線性齊次微分方程、線性非齊次微分方程的解法，了解努利方程通過變量替換化為線性方程的方法。

4. 掌握各類型可降階的微分方程的解法。

(十)無窮級數(shù)

【基本內(nèi)容】

(一)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)：常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂于發(fā)散的概念，收斂級數(shù)和的概念，級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件。

(二)正項(xiàng)級數(shù)收斂性的判別法與萊布尼茨定理任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂。

(三)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念。

(四)冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開區(qū)間)和收斂域，冪級數(shù)的和函數(shù)，冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法。

【基本要求】

1. 掌握級數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及級數(shù)收斂的必要條件

2. 掌握正項(xiàng)級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，了解任意項(xiàng)級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念 ，絕對收斂與收斂的關(guān)系，了解交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茨判別法。

3. 了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

4. 理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法，了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分)，會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。

(十一)線性代數(shù)中的線性方程組

【基本內(nèi)容】

(一)行化簡：行初等變換與行階梯型變換。

(二)線性方程組：線性方程組的概念，高斯消元法求解線性方程組。

(三)齊次線性方程組有非零解和非齊次線性方程組有解的充分必要條件，解的求法

(四)線性無關(guān)：線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念，線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法;

【基本要求】

1. 了解行初等變換及行階梯型變換的概念，熟練掌握用行初等變換及行階梯型變換矩陣的方法。

2. 理解線性方程組的概念，熟練使用高斯消元法求解線性方程組。

3. 理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件，理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法，理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念。

4. 理解線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念，掌握線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法。

(十二)矩陣代數(shù)

【基本內(nèi)容】

(一)矩陣：基本概念、基本矩陣運(yùn)算

(二)逆矩陣：定義、特征、求法、基本行(列)運(yùn)算、初等矩陣、伴隨矩陣

(三)矩陣初等變換：概念、初等矩陣、矩陣等價(jià)、矩陣的秩

(四)特殊矩陣：概念，性質(zhì)

【基本要求】

1. 掌握矩陣的基本概念，熟悉乘、加、系數(shù)相加、矩陣相乘等基本矩陣運(yùn)算，了解轉(zhuǎn)置矩陣，能運(yùn)用運(yùn)算法則計(jì)算轉(zhuǎn)置矩陣。

2. 掌握逆矩陣的定義以及意義，了解其特征以及存在的充分必要條件，熟悉其求法，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。

3. 掌握矩陣初等變化的概念，理解初等矩陣與矩陣等價(jià)的概念，了解矩陣的秩的含義，能通過初等變換求矩陣的秩和矩陣的逆。

4. 掌握幾種特殊矩陣(零矩陣，單位矩陣，對角矩陣，對稱矩陣，上、下三角矩陣，稀疏矩陣等)并能熟練運(yùn)用其性質(zhì)。

(十三)行列式

【基本內(nèi)容】

(一)行列式：定義、行列式的性質(zhì)

(二)行列式的計(jì)算：計(jì)算、行列式的展開

【基本要求】

1. 掌握行列式的概念，了解行列式的性質(zhì)。

2. 會利用行列式的性質(zhì)和行列式按行(列)展開定理計(jì)算行列式。

(十四)向量空間

【基本內(nèi)容】

(一)向量：n維向量概念、向量的線性組合

(二)向量組：概念、向量組線性相關(guān)性、極大線性無關(guān)組、向量組的秩

(三)向量空間：定義、性質(zhì)、向量空間的封閉性

(四)子空間：定義、子空間的充要條件

(五)向量空間的基、維數(shù)與向量坐標(biāo)：概念、基變換和坐標(biāo)變換

【基本要求】

1. 掌握n維向量的概念，理解向量的線性組合與線性表示的概念。

2. 掌握向量組的概念，理解向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念，掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別方法。掌握向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩的概念，并會計(jì)算向量組的極大線性無關(guān)組及秩。

3. 掌握向量空間的定義和性質(zhì)，理解向量加法和數(shù)乘運(yùn)算的封閉性。

4. 掌握子空間的定義，理解子空間的充要條件，掌握子空間的判別方法。

5. 掌握向量空間的基、維數(shù)與向量坐標(biāo)的概念，會計(jì)算有限維向量空間的基和維數(shù)，了解基變換和坐標(biāo)變換的公式，會求過渡矩陣。

(十五)特征值與特征向量

【基本內(nèi)容】

(一)特征值與特征向量：矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)。

(二)相似矩陣：相似矩陣的實(shí)義與性質(zhì)。

(三)矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣。

(四)實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量及相似對角矩陣。

【基本要求】

1. 理解實(shí)方陣的特征值和特征向量的定義，理解實(shí)方陣的特征值和特征向量的性質(zhì)，會求給定矩陣的特征值和特征向量。

2. 理解矩陣相似的定義，掌握相似矩陣的性質(zhì)，

3. 熟知n階實(shí)方陣相似于對角矩陣的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法。熟知n階實(shí)方陣相似于對角矩陣的一個(gè)充分條件：A有n個(gè)互不相同的特征值。

4. 掌握實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)，了解實(shí)對稱矩陣必正交相似于對角矩陣，會求實(shí)對稱矩陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)形。

(十六)正交性和最小二乘法

【基本內(nèi)容】

(一)線性空間內(nèi)積：線性空間內(nèi)積的概念、性質(zhì)，及其運(yùn)算。

(二)標(biāo)準(zhǔn)正交基：標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念和求法，標(biāo)準(zhǔn)正交基下度量矩陣、向量坐標(biāo)及內(nèi)積的特殊表達(dá)。

(三)正交矩陣的概念及性質(zhì)，正交矩陣與標(biāo)準(zhǔn)正交基的過度矩陣的關(guān)系。

(四)正交變換的概念與性質(zhì)，正交變換和正交矩陣的關(guān)系，正交子空間，正交補(bǔ)的概念及性質(zhì)。

(五)同構(gòu)的概念與最小二乘法。

【基本要求】

1. 掌握線性空間內(nèi)積的概念及性質(zhì)，理解歐幾里德空間的概念，了解歐幾里德空間中向量的正交，了解歐幾里德空間中基的度量矩陣及其用途。

2. 理解標(biāo)準(zhǔn)(規(guī)范)正交基的概念，掌握標(biāo)準(zhǔn)(規(guī)范)正交基的求法(施密特正交化過程)，了解標(biāo)準(zhǔn)正交基下度量矩陣、向量坐標(biāo)及內(nèi)積的特殊表達(dá)。

3. 掌握正交矩陣的概念及性質(zhì)，了解正交矩陣與標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣之間的關(guān)系。

4. 理解正交變換的概念及其性質(zhì)，了解正交變換和正交矩陣之間的關(guān)系，理解正交子空間、正交補(bǔ)的概念及性質(zhì)。

5. 了解同構(gòu)的概念，熟練掌握最小二乘法的運(yùn)算方法。

(十七)對稱矩陣和二次型

【基本內(nèi)容】

(一)對稱矩陣對角化：步驟與方法。

(二)二次型及其矩陣表示、合同變換與合同矩陣、二次型的秩、慣性定理、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形、用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、二次型及其矩陣的正定性。

【基本要求】

1. 熟練掌握對稱矩陣對角化的步驟與方法。

2. 了解二次型的概念,會用矩陣形式表示二次型,了解合同變換與合同矩陣的概念了解二次型的秩的概念,了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形等概念,了解慣性定理,會用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。