湖北民族學院

高等代數

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數學

《高等代數》課程是數學學科各專業碩士研究生入學考試必考科目之一，是由教育部授權各招生院校自行命題的選拔性考試。《高等代數》考試的目的是考察考生是否具備進行本學科各專業碩士研究生學習所要求的水平。

高等代數主要內容包括多項式、行列式和線性方程組、矩陣及其標準形、特征值和特征向量、線性變換和歐式空間。要求考生比較系統地理解高等代數的基本概念和基本理論，掌握高等代數的基本思想和方法，有較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。

包括：1. 考試時間：考試時間為180分鐘。

2. 試卷滿分：本試卷滿分為150分。

3. 考試形式：閉卷、筆試。

4. 題型：計算題、證明題。

1．一元多項式

了解：數域的概念與性質、一元多項式環的概念、P[x]中n次多項式在數域P中的根不可能多于n個、多項式的因式分解.

理解：因式分解及唯一性定理、重因式的概念、余數定理、根與一次因式的關系、復系數多項式因式分解定理、實系數多項式因式分解定理.

掌握：多項式的概念、多項式的運算及性質、整除的概念與性質、帶余除法定理及證明、最大公因式的概念與求法（歐幾里德算法）、多項式互素的概念與性質、多項式互素的概念與性質、判別多項式f(x)有無重因式的方法、本原多項式的概念及性 整系數多項式有理根的理論與方法、 Eisenstein判別法.

2．行列式

了解：行列式概念的引出及應用、排列、排列的逆序數、偶排列與奇排列的概念與性質排列、排列的逆序數、偶排列與奇排列的概念與性質、拉普拉斯定理.

理解：對角形行列式的性質、子式和代數余子式、行列式的乘法定理.

掌握：n級行列式的定義、行列式的性質、簡化行列式的計算、行列式按一行（列）展開定理、Cramer法則及應用.

3. 線性方程組

了解：線性方程組初等變換的概念及性質.

理解：線性組合和線性表出以及兩個向量組等價的概念、矩陣秩的概念、矩陣k級子式的概念及矩陣秩為r的充分必要條件、向量組線性相關性與齊次線性方程組解的關系.

掌握：利用初等變換（消元法）解線性方程組的方法、矩陣的初等變換、數域P上的n維向量的概念及運算規則、向量組線性相關、線性無關的概念及基本性質、求向量組的極大線性無關組與秩、計算矩陣秩的方法、線性方程組有解判別定理、齊次線性方程組解的性質及基礎解系的概念、齊次線性方程組基礎解系的方法、非齊次線性方程組解的結構定理.

4. 矩陣

了解：矩陣乘積(為方陣時)的行列式與秩和它的因子的行列式與秩的關系、可逆矩陣與矩陣乘積的逆與秩的關系、分塊矩陣及分塊矩陣的運算規律及應用.

理解：矩陣A可逆及逆矩陣的概念、初等矩陣的概念與性質、矩陣等價的概念、任一矩陣都與其標準形等價.

掌握：矩陣的加法、乘法、數量乘法及矩陣的轉置定義及性質、伴隨矩陣與逆矩陣的關系、初等變換與初等矩陣的關系及矩陣A與B等價的充要條件、判定可逆性和求逆矩陣的方法.

5. 二次型

了解：二次型、二次型矩陣的概念及二次型的矩陣表示、復二次型、實二次型的規范形及規范形的唯一性（慣性定理）.

理解：矩陣合同的概念及性質、二次型的標準形概念、任一對稱矩陣都合同于一對角矩陣.

掌握：用非退化線性替換化二次型為標準形的方法、正定二次型及正定矩陣的概念、二次型為正定的充分必要條件及正定矩陣的性質.

6. 線性空間

了解：集合，映射的概念、線性空間的定義與簡單性質、子空間的概念、直和的概念．

理解：線性空間維數、基與坐標的概念、子空間交與和的概念、維數公式、數域P上兩個有限維線性空間同構的充分必要條件．

掌握：過渡矩陣的概念及坐標變換公式、線性空間V的非空子集W成為子空間的條件、生成的子空間概念及性質、掌握V1+V2是直和的充分必要條件、同構概念及性質．

7. 線性變換

了解： 線性變換的簡單性質；線性變換的乘法、加法、數乘、逆變換的概念與性質、特征子空間概念、Hamilton-Caylay定理．

理解：相似矩陣的概念與性質、線性變換的值域與核的概念及主要性質、不變子空間的概念及主要性質.

掌握：線性變換的概念、恒等變換、數乘變換、線性變換在某基下的矩陣的概念、在取定一組基后，線性變換與n×n矩陣1—1對應、用線性變換矩陣計算向量的象的坐標的公式、線性變換在兩組基下的矩陣之間的關系、特征值與特征向量的概念以及求特征值與特征向量的方法、n維線性空間的一個線性變換在某基下的矩陣為對角矩陣的充分必要條件及判別辦法、矩陣相似于一個對角矩陣的條件．

8.歐幾里得空間

了解：歐氏空間同構的概念及條件.

理解：歐幾里得空間的定義及基本性質、向量長度的概念、單位向量、柯西-布涅柯夫斯基不等式、夾角的概念．

掌握：正交向量及性質、度量矩陣的概念；標準正交基定義、熟練掌握施密特正交化過程以及正交對角化實對稱矩陣

北京大學編《高等代數》，高等教育出版社，1978年3月第1版，2003年7月第3版，2003年9月第2次印刷.