南開大學 - 話題

南開大學碩士研究生入學考試《數學分析》考試大綱
本《數學分析》考試大綱適用于南開大學數學學科（包括南開大學數學學院，陳省身數學所，組合數學中心等）各專業碩士研究生入學考試。數學分析是一門具有公共性質的重要的數學基礎課程，由分析基礎、一元微分學和積分學（含廣義積分）、級數、多元微分學和積分學（含參變量積分）等部分組成。要求考生能準確理解基本概念，理解數學分析的基本理論，熟練掌握數學分析的各種運算，理解數學分析的基本思想和方法。　要求考生具有較好的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。
采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。
考試內容：


1．分析基礎：


極限： 數列與函數極限的定義， 收斂數列的性質與極限的四則運算，數列斂散的判別法， 函數極限的性質與運算法則，無窮大量與無窮小量，實數的基本理論（包括：確界原理，柯西收斂原理，有限覆蓋定理，致密性原理，單調有界原理，區間套定理等），上極限和下極限，多元函數的極限概念與性質。


連續函數： 連續函數及其性質， 初等函數的連續性，一致連續， 閉區間上連續函數的性質，多元函數的連續性。


2．導數與微分：導數的概念，導函數的計算，高階導數， 微分，微分中值定理， 函數的單調性和極值， 函數的凸性，洛必達法則，泰勒公式。


3．不定積分： 不定積分的概念， 換元積分法， 分部積分法，有理函數的積分， 三角函數有理式的積分，和某些無理函數的積分。


4．定積分： 定積分的概念與計算， 定積分的性質，微積分基本定理，換元積分法。


定積分在幾何計算中的應用，


5．多元函數的微分學：偏導數概念與計算，全微分的概念，方向導數及梯度的性質，多元函數的泰勒公式，隱函數存在定理，極值理論。


6．重積分：重積分的概念與性質，重積分的計算。


7．曲線積分與曲面積分： 第一型曲線積分，第二型曲線積分，第一型曲面積分，第二型曲面積分，各種積分之間的聯系，曲線積分與路徑無關的條件。


8．數項級數： 級數收斂性的概念和基本性質，正項級數收斂差別法，任意項級數收斂差別法。　


9．廣義積分： 無限區間上的廣義積分，有限區間上無界函數的廣義積分。


10．一致收斂： 函數列的一致收斂性，一致收斂與極限換序。


11．函數項級數：函數項級數的一致收斂判別法，冪級數的性質，泰勒級數，函數的冪級數展開，傅里葉級數的性質。


12．含參變量積分：含參變量的正常積分，含參變量的廣義積分。

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