四川大學(xué) - 話題

    線性代數(shù)要記住的結(jié)論
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    lyh2006
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    發(fā)表于 2010-08-21 19:27
    樓主
    線性代數(shù)要記住的結(jié)論
    1、行列式
    1.         行列式共有 個元素,展開后有 項,可分解為 行列式;
    2.        代數(shù)余子式的性質(zhì):
    ①、 和 的大小無關(guān);
    ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代數(shù)余子式為0;
    ③、某行(列)的元素乘以該行(列)元素的代數(shù)余子式為 ;
    3.        代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系:
    4.        設(shè) 行列式 :
    將 上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn),所得行列式為 ,則 ;
    將 順時針或逆時針旋轉(zhuǎn) ,所得行列式為 ,則 ;
    將 主對角線翻轉(zhuǎn)后(轉(zhuǎn)置),所得行列式為 ,則 ;
    將 主副角線翻轉(zhuǎn)后,所得行列式為 ,則 ;
    5.        行列式的重要公式:
    ①、主對角行列式:主對角元素的乘積;
    ②、副對角行列式:副對角元素的乘積 ;
    ③、上、下三角行列式( ):主對角元素的乘積;
    ④、 和 :副對角元素的乘積 ;
    ⑤、拉普拉斯展開式: 、
    ⑥、范德蒙行列式:大指標減小指標的連乘積;
    ⑦、特征值;
    6.        對于 階行列式 ,恒有: ,其中 為 階主子式;
    7.        證明 的方法:
    ①、 ;
    ②、反證法;
    ③、構(gòu)造齊次方程組 ,證明其有非零解;
    ④、利用秩,證明 ;
    ⑤、證明0是其特征值;
    2、矩陣
    1.         是 階可逆矩陣:
      (是非奇異矩陣);
      (是滿秩矩陣)
      的行(列)向量組線性無關(guān);
    齊次方程組 有非零解;
      , 總有唯一解;
      與 等價;
      可表示成若干個初等矩陣的乘積;
      的特征值全不為0;
      是正定矩陣;
      的行(列)向量組是 的一組基;
      是 中某兩組基的過渡矩陣;
    2.        對于 階矩陣 :  無條件恒成立;
    3.         

    4.        矩陣是表格,推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭;行列式是數(shù)值,可求代數(shù)和;
    5.        關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論,其中均 、 可逆:
    若 ,則:
    Ⅰ、 ;
    Ⅱ、 ;
    ②、 ;(主對角分塊)
    ③、 ;(副對角分塊)
    ④、 ;(拉普拉斯)
    ⑤、 ;(拉普拉斯)
    3、矩陣的初等變換與線性方程組
    1.        一個 矩陣 ,總可經(jīng)過初等變換化為標準形,其標準形是唯一確定的: ;
    等價類:所有與 等價的矩陣組成的一個集合,稱為一個等價類;標準形為其形狀最簡單的矩陣;
    對于同型矩陣 、 ,若 ;
    2.        行最簡形矩陣:
    ①、只能通過初等行變換獲得;
    ②、每行首個非0元素必須為1;
    ③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0;
    3.        初等行變換的應(yīng)用:(初等列變換類似,或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換)
    ①、        若 ,則 可逆,且 ;
    ②、對矩陣 做初等行變化,當(dāng) 變?yōu)?時, 就變成 ,即: ;
    ③、求解線形方程組:對于 個未知數(shù) 個方程 ,如果 ,則 可逆,且 ;
    4.        初等矩陣和對角矩陣的概念:
    ①、初等矩陣是行變換還是列變換,由其位置決定:左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣;
    ②、 ,左乘矩陣 , 乘 的各行元素;右乘, 乘 的各列元素;
    ③、對調(diào)兩行或兩列,符號 ,且 ,例如: ;
    ④、倍乘某行或某列,符號 ,且 ,例如: ;
    ⑤、倍加某行或某列,符號 ,且 ,如: ;
    5.        矩陣秩的基本性質(zhì):
    ①、 ;
    ②、 ;
    ③、若 ,則 ;
    ④、若 、 可逆,則 ;(可逆矩陣不影響矩陣的秩)
    ⑤、 ;(※)
    ⑥、 ;(※)
    ⑦、 ;(※)
    ⑧、如果 是 矩陣, 是 矩陣,且 ,則:(※)
            Ⅰ、 的列向量全部是齊次方程組 解(轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論);
            Ⅱ、
    ⑨、若 、 均為 階方陣,則 ;
    6.        三種特殊矩陣的方冪:
    ①、秩為1的矩陣:一定可以分解為列矩陣(向量) 行矩陣(向量)的形式,再采用結(jié)合律;
    ②、型如 的矩陣:利用二項展開式;
            二項展開式: ;
            注:Ⅰ、 展開后有 項;
    Ⅱ、
    Ⅲ、組合的性質(zhì): ;
    ③、利用特征值和相似對角化:
    7.        伴隨矩陣:
    ①、伴隨矩陣的秩: ;
    ②、伴隨矩陣的特征值: ;
    ③、 、
    8.        關(guān)于 矩陣秩的描述:
    ①、 , 中有 階子式不為0, 階子式全部為0;(兩句話)
    ②、 , 中有 階子式全部為0;
    ③、 , 中有 階子式不為0;
    9.        線性方程組: ,其中 為 矩陣,則:
    ①、 與方程的個數(shù)相同,即方程組 有 個方程;
    ②、 與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同,方程組 為 元方程;
    10.        線性方程組 的求解:
    ①、對增廣矩陣 進行初等行變換(只能使用初等行變換);
    ②、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解;
    ③、特解:自由變量賦初值后求得;
    11.        由 個未知數(shù) 個方程的方程組構(gòu)成 元線性方程:
    ①、 ;
    ②、 (向量方程, 為 矩陣, 個方程, 個未知數(shù))
    ③、 (全部按列分塊,其中 );
    ④、 (線性表出)
    ⑤、有解的充要條件: ( 為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù))
    4、向量組的線性相關(guān)性
    1.         個 維列向量所組成的向量組 : 構(gòu)成 矩陣 ;
    個 維行向量所組成的向量組 : 構(gòu)成 矩陣 ;
    含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng);
    2.        ①、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)         有、無非零解;(齊次線性方程組)
    ②、向量的線性表出                         是否有解;(線性方程組)
    ③、向量組的相互線性表示         是否有解;(矩陣方程)
    3.        矩陣 與 行向量組等價的充分必要條件是:齊次方程組 和 同解;( 例14)
    4.         ;( 例15)
    5.         維向量線性相關(guān)的幾何意義:
    ①、 線性相關(guān)                  ;
    ②、 線性相關(guān)          坐標成比例或共線(平行);
    ③、 線性相關(guān)          共面;
    6.        線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理:
    若 線性相關(guān),則 必線性相關(guān);
    若 線性無關(guān),則 必線性無關(guān);(向量的個數(shù)加加減減,二者為對偶)
    若 維向量組 的每個向量上添上 個分量,構(gòu)成 維向量組 :
    若 線性無關(guān),則 也線性無關(guān);反之若 線性相關(guān),則 也線性相關(guān);(向量組的維數(shù)加加減減)
    簡言之:無關(guān)組延長后仍無關(guān),反之,不確定;
    7.        向量組 (個數(shù)為 )能由向量組 (個數(shù)為 )線性表示,且 線性無關(guān),則 (二版 定理7);
    向量組 能由向量組 線性表示,則 ;( 定理3)
    向量組 能由向量組 線性表示
    有解;
                     ( 定理2)
            向量組 能由向量組 等價 ( 定理2推論)
    8.        方陣 可逆 存在有限個初等矩陣 ,使 ;
    ①、矩陣行等價: (左乘, 可逆) 與 同解
    ②、矩陣列等價: (右乘, 可逆);
    ③、矩陣等價: ( 、 可逆);
    9.        對于矩陣 與 :
    ①、若 與 行等價,則 與 的行秩相等;
    ②、若 與 行等價,則 與 同解,且 與 的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性;
    ③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩;
    ④、矩陣 的行秩等于列秩;
    10.        若 ,則:
    ①、 的列向量組能由 的列向量組線性表示, 為系數(shù)矩陣;
    ②、 的行向量組能由 的行向量組線性表示, 為系數(shù)矩陣;(轉(zhuǎn)置)
    11.        齊次方程組 的解一定是 的解,考試中可以直接作為定理使用,而無需證明;
    ①、         只有零解 只有零解;
    ②、         有非零解 一定存在非零解;
    12.        設(shè)向量組 可由向量組 線性表示為:( 題19結(jié)論)
    ( )
            其中 為 ,且 線性無關(guān),則 組線性無關(guān) ;( 與 的列向量組具有相同線性相關(guān)性)
    (必要性: ;充分性:反證法)
            注:當(dāng) 時, 為方陣,可當(dāng)作定理使用;
    13.        ①、對矩陣 ,存在 ,          、 的列向量線性無關(guān);( )
    ②、對矩陣 ,存在 ,          、 的行向量線性無關(guān);
    14.         線性相關(guān)
    存在一組不全為0的數(shù) ,使得 成立;(定義)
      有非零解,即 有非零解;
      ,系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù);
    15.        設(shè) 的矩陣 的秩為 ,則 元齊次線性方程組 的解集 的秩為: ;
    16.        若 為 的一個解, 為 的一個基礎(chǔ)解系,則 線性無關(guān);( 題33結(jié)論)
    5、相似矩陣和二次型
    1.        正交矩陣 或 (定義),性質(zhì):
    ①、 的列向量都是單位向量,且兩兩正交,即 ;
    ②、若 為正交矩陣,則 也為正交陣,且 ;
    ③、若 、 正交陣,則 也是正交陣;
            注意:求解正交陣,千萬不要忘記施密特正交化和單位化;
    2.        施密特正交化:


             
             ;
    3.        對于普通方陣,不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān);
    對于實對稱陣,不同特征值對應(yīng)的特征向量正交;
    4.        ①、 與 等價          經(jīng)過初等變換得到 ;
    , 、 可逆;
    , 、 同型;
    ②、 與 合同         ,其中可逆;
                                     與 有相同的正、負慣性指數(shù);
    ③、 與 相似         ;
    5.        相似一定合同、合同未必相似;
    若 為正交矩陣,則   ,(合同、相似的約束條件不同,相似的更嚴格);
    6.         為對稱陣,則 為二次型矩陣;
    7.         元二次型 為正定:
    的正慣性指數(shù)為 ;
    與 合同,即存在可逆矩陣 ,使 ;
    的所有特征值均為正數(shù);
             的各階順序主子式均大于0;
             ;(必要條件)

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